同济高数 第4章 第4-4-23题

[AI解答]

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我们需要计算不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{\mathrm{~d} x}{x}.
$$

第一步：化简被积函数
将根式部分有理化，令
$$
t = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}.
$$
则
$$
t^2 = \frac{1-x}{1+x} \quad \Rightarrow \quad t^2(1+x) = 1-x.
$$
整理得
$$
t^2 + t^2 x = 1 - x \quad \Rightarrow \quad t^2 x + x = 1 - t^2,
$$
$$
x(1 + t^2) = 1 - t^2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.
$$

第二步：求微分
对 $x$ 关于 $t$ 求导：
$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{(-2t)(1+t^2) - (1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2}
= \frac{-2t - 2t^3 - 2t + 2t^3}{(1+t^2)^2}
= \frac{-4t}{(1+t^2)^2}.
$$
因此
$$
\mathrm{d}x = \frac{-4t}{(1+t^2)^2} \mathrm{d}t.
$$

第三步：代入原积分
原积分为
$$
\displaystyle{\int} t \cdot \frac{1}{x} \cdot \mathrm{d}x
= \displaystyle{\int} t \cdot \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^2} \mathrm{d}t.
$$
化简：
$$
= \displaystyle{\int} \frac{-4t^2}{(1 - t^2)(1 + t^2)} \mathrm{d}t
= -4 \displaystyle{\int} \frac{t^2}{1 - t^4} \mathrm{d}t.
$$

第四步：分解为部分分式
由于
$$
\frac{t^2}{1 - t^4} = \frac{t^2}{(1-t^2)(1+t^2)},
$$
可设
$$
\frac{t^2}{(1-t^2)(1+t^2)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1+t^2}.
$$
但更简便的方法是注意到
$$
\frac{t^2}{1 - t^4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right),
$$
因为
$$
\frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} = \frac{(1+t^2) - (1-t^2)}{1 - t^4} = \frac{2t^2}{1-t^4}.
$$
所以
$$
\frac{t^2}{1-t^4} = \frac12 \left( \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right).
$$

第五步：积分
于是
$$
-4 \displaystyle{\int} \frac{t^2}{1-t^4} \mathrm{d}t
= -4 \cdot \frac12 \displaystyle{\int} \left( \frac{1}{1-t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t
= -2 \displaystyle{\int} \frac{1}{1-t^2} \mathrm{d}t + 2 \displaystyle{\int} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t.
$$
而
$$
\displaystyle{\int} \frac{1}{1-t^2} \mathrm{d}t = \frac12 \ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| + C,
$$
$$
\displaystyle{\int} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t = \arctan t + C.
$$
因此
$$
原式 = -2 \cdot \frac12 \ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| + 2 \arctan t + C
= -\ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| + 2 \arctan t + C.
$$

第六步：回代变量
由 $ t = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} $，注意
$$
\frac{1+t}{1-t} = \frac{1 + \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}{1 - \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
= \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}.
$$
有理化后可得
$$
\frac{1+t}{1-t} = \frac{(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})^2}{(1+x) - (1-x)} = \frac{1+x + 1-x + 2\sqrt{1-x^2}}{2x}
= \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}.
$$
同时，$\arctan t = \arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$。

因此最终结果为：
$$
\boxed{-\ln\left| \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x} \right| + 2 \arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + C}.
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及根式代换、有理函数分解、反三角函数与对数积分技巧，步骤较多但思路常规）