同济高数 第4章 第4-4-6题
📝 题目
6． $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)} \mathrm{d} x
$$
第一步：分解为部分分式
设
$$
\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^{2}} + \frac{C}{x-1}
$$
两边乘以分母 $(x+1)^{2}(x-1)$ 得：
$$
x^{2}+1 = A(x+1)(x-1) + B(x-1) + C(x+1)^{2}
$$
化简：
$$
x^{2}+1 = A(x^{2}-1) + B(x-1) + C(x^{2}+2x+1)
$$
$$
= (A+C)x^{2} + (B+2C)x + (-A - B + C)
$$
比较系数：
$$
\begin{cases}
A + C = 1 \\
B + 2C = 0 \\
-A - B + C = 1
\end{cases}
$$
由第二式得 $B = -2C$，代入第一、三式：
第一式：$A = 1 - C$
第三式：$-(1-C) - (-2C) + C = -1 + C + 2C + C = -1 + 4C = 1$
所以 $4C = 2$，即 $C = \frac{1}{2}$。
于是 $A = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，$B = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$。
因此：
$$
\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)} = \frac{1/2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1/2}{x-1}
$$
第二步：逐项积分
原积分变为：
$$
\displaystyle{\int} \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} \right) \mathrm{d}x
$$
$$
= \frac{1}{2} \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln|x-1| + C
$$
其中 $\displaystyle{\int} -\frac{1}{(x+1)^{2}} \mathrm{d}x = \frac{1}{x+1}$（注意负号与积分结果）。
第三步：合并对数
$$
= \frac{1}{2} \ln\left| \frac{(x+1)(x-1)}{?} \right|?
$$
实际上：
$$
\frac{1}{2}\ln|x+1| + \frac{1}{2}\ln|x-1| = \frac{1}{2} \ln|(x+1)(x-1)| = \frac{1}{2} \ln|x^{2}-1|
$$
所以最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \ln|x^{2}-1| + \frac{1}{x+1} + C}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及有理函数部分分式分解，计算量适中，但思路常规。）