同济高数 第4章 第4-4-8题
📝 题目
8． $\displaystyle{\int} \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} \mathrm{~d} x
$$
第一步：化简被积函数
分母 $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$。分子次数高于分母，先做多项式除法。
计算：
$$
\frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x}
$$
用多项式除法：
$x^5 \div x^3 = x^2$，乘回得 $x^5 - x^3$，减去得 $x^4 + x^3 - 8$。
再 $x^4 \div x^3 = x$，乘回得 $x^4 - x^2$，减去得 $x^3 + x^2 - 8$。
再 $x^3 \div x^3 = 1$，乘回得 $x^3 - x$，减去得 $x^2 + x - 8$。
所以：
$$
\frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} = x^2 + x + 1 + \frac{x^2 + x - 8}{x^3 - x}
$$
第二步：分解余项为部分分式
设
$$
\frac{x^2 + x - 8}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}
$$
两边乘以分母得：
$$
x^2 + x - 8 = A(x-1)(x+1) + B x (x+1) + C x (x-1)
$$
分别代入特殊值：
令 $x=0$：$-8 = A(-1)(1) = -A \Rightarrow A = 8$
令 $x=1$：$1+1-8 = -6 = B(1)(2) = 2B \Rightarrow B = -3$
令 $x=-1$：$1 -1 -8 = -8 = C(-1)(-2) = 2C \Rightarrow C = -4$
因此：
$$
\frac{x^2+x-8}{x^3-x} = \frac{8}{x} - \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+1}
$$
第三步：积分
原积分化为：
$$
\int (x^2 + x + 1) \, dx + \int \frac{8}{x} \, dx - \int \frac{3}{x-1} \, dx - \int \frac{4}{x+1} \, dx
$$
分别积分：
$$
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3},\quad \int x \, dx = \frac{x^2}{2},\quad \int 1 \, dx = x
$$
$$
\int \frac{8}{x} \, dx = 8\ln|x|,\quad \int \frac{3}{x-1} \, dx = 3\ln|x-1|,\quad \int \frac{4}{x+1} \, dx = 4\ln|x+1|
$$
合并得：
$$
\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 8\ln|x| - 3\ln|x-1| - 4\ln|x+1| + C
$$
最终结果：
$$
\boxed{\displaystyle{\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 8\ln|x| - 3\ln|x-1| - 4\ln|x+1| + C}}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及多项式除法与部分分式分解，计算量中等，但思路常规）