同济高数 第4章 第4-5-16题
📝 题目
16． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x
$$
步骤1：观察被积函数形式
分母含有 $\sqrt{x^2 - 1}$，这提示我们使用三角代换。
令 $x = \sec t$，其中 $t \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$，则
$$
\mathrm{d}x = \sec t \tan t \, \mathrm{d}t
$$
且
$$
\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \sqrt{\tan^2 t} = |\tan t|
$$
在 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，$\tan t > 0$，因此可去掉绝对值。
步骤2：代入化简
原积分变为：
$$
\int \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t \, \mathrm{d}t
= \int 1 \, \mathrm{d}t = t + C
$$
步骤3：回代变量
由 $x = \sec t$ 得 $t = \operatorname{arcsec} x$，因此
$$
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x = \operatorname{arcsec} x + C
$$
步骤4：另一种常见形式
注意到 $\operatorname{arcsec} x = \frac{\pi}{2} - \arccos\frac{1}{x}$，常数可合并，因此也可写作
$$
\arccos\frac{1}{x} + C
$$
或
$$
\arctan \sqrt{x^2 - 1} + C
$$
但最简洁形式为 $\operatorname{arcsec} x + C$。
最终答案：
$$
\boxed{\operatorname{arcsec} x + C}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（属于基本三角代换积分，步骤直接，但需熟悉反三角函数形式）