同济高数 第4章 第4-5-6题
📝 题目
6． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分：
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx
$$
步骤1：设分部积分
令
$$
u = e^{2x}, \quad dv = \cos x \, dx
$$
则
$$
du = 2 e^{2x} dx, \quad v = \sin x
$$
由分部积分公式 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$，得
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - \int \sin x \cdot 2 e^{2x} \, dx
$$
即
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - 2 \int e^{2x} \sin x \, dx \quad (1)
$$
**步骤2：再对 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ 分部积分**
令
$$
u = e^{2x}, \quad dv = \sin x \, dx
$$
则
$$
du = 2 e^{2x} dx, \quad v = -\cos x
$$
于是
$$
\int e^{2x} \sin x \, dx = - e^{2x} \cos x - \int (-\cos x) \cdot 2 e^{2x} \, dx
$$
即
$$
\int e^{2x} \sin x \, dx = - e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx \quad (2)
$$
步骤3：代入回原式
将 (2) 代入 (1)：
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - 2 \left( - e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx \right)
$$
化简：
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x + 2 e^{2x} \cos x - 4 \int e^{2x} \cos x \, dx
$$
步骤4：解出积分
将含有积分的项移到左边：
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx + 4 \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} (\sin x + 2 \cos x)
$$
即
$$
5 \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} (\sin x + 2 \cos x)
$$
所以
$$
\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} (\sin x + 2 \cos x) + C
$$
最终结果：
$$
\boxed{\displaystyle \int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} (\sin x + 2\cos x) + C}
$$
难度：★★☆☆☆