同济高数 第4章 第4-5-9题
📝 题目
9． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{3} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分
$$
\int \frac{dx}{\sin^3 x}.
$$
步骤1：化为余割函数形式
由于 $\frac{1}{\sin^3 x} = \csc^3 x$，因此原积分等价于
$$
\int \csc^3 x \, dx.
$$
步骤2：使用分部积分公式
令
$$
u = \csc x, \quad dv = \csc^2 x \, dx.
$$
则
$$
du = -\csc x \cot x \, dx, \quad v = -\cot x.
$$
分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 给出
$$
\int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx
= -\csc x \cot x - \int \csc x \cot^2 x \, dx.
$$
步骤3：利用恒等式替换
因为 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$，所以
$$
\int \csc x \cot^2 x \, dx = \int \csc x (\csc^2 x - 1) \, dx
= \int \csc^3 x \, dx - \int \csc x \, dx.
$$
代入上一步结果：
$$
\int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x - \left( \int \csc^3 x \, dx - \int \csc x \, dx \right).
$$
步骤4：解出积分
将右边的 $\int \csc^3 x \, dx$ 移到左边：
$$
\int \csc^3 x \, dx + \int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x + \int \csc x \, dx,
$$
即
$$
2 \int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x + \int \csc x \, dx.
$$
已知
$$
\int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C,
$$
因此
$$
\int \csc^3 x \, dx = -\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + C.
$$
步骤5：回代原变量
原积分即为
$$
\int \frac{dx}{\sin^3 x} = -\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + C.
$$
也可写作
$$
\boxed{-\frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right| + C}.
$$
难度：★★★☆☆
（涉及分部积分、三角恒等式及常见积分公式，需一定技巧）