同济高数 第5章 第5-2-10题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 证明：
$$
\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \, \mathrm{d}x}
= \left. \frac{\sin kx}{k} \right|_{-\pi}^{\pi}
= \frac{\sin(k\pi) - \sin(-k\pi)}{k}
= \frac{0 - 0}{k} = 0.
$$
故原式成立。

（2） 证明：
$$
\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \, \mathrm{d}x}
= \left. -\frac{\cos kx}{k} \right|_{-\pi}^{\pi}
= -\frac{\cos(k\pi) - \cos(-k\pi)}{k}
= -\frac{(-1)^k - (-1)^k}{k} = 0.
$$
故原式成立。

（3） 证明：
利用三角恒等式 $\cos^2 kx = \frac{1+\cos 2kx}{2}$，
$$
\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 kx \, \mathrm{d}x}
= \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} (1 + \cos 2kx) \, \mathrm{d}x
= \frac12 \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x \right).
$$
由（1）知 $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x} = 0$，而 $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x} = 2\pi$，
所以原式 $= \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。

（4） 证明：
利用 $\sin^2 kx = \frac{1 - \cos 2kx}{2}$，
$$
\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx \, \mathrm{d}x}
= \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 2kx) \, \mathrm{d}x
= \frac12 \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x - \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x \right).
$$
同样，由（1）知第二项为零，第一项为 $2\pi$，所以原式 $= \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。

难度：★☆☆☆☆