同济高数 第5章 第5-2-12题
📝 题目
12．求下列极限：
（1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t^{2} d t}{x}$ ；
（2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} e^{t^{2}} d t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t e^{2 t^{2}} d t}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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(1) 求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t^{2} \, dt}{x}
$$
步骤：
当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可用洛必达法则。
对分子求导，由微积分基本定理得：
$$
\frac{d}{dx} \int_0^x \cos t^2 \, dt = \cos x^2
$$
分母 $x$ 的导数为 1。
因此：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \cos t^2 \, dt}{x}
= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x^2}{1}
= \cos 0 = 1
$$
答案：
$$
\boxed{1}
$$
(2) 求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\left( \displaystyle{\int}_{0}^{x} e^{t^{2}} \, dt \right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t e^{2 t^{2}} \, dt}
$$
步骤：
当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，使用洛必达法则。
先对分子求导：
$$
\frac{d}{dx} \left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)^2
= 2 \left( \int_0^x e^{t^2} dt \right) \cdot e^{x^2}
$$
对分母求导：
$$
\frac{d}{dx} \int_0^x t e^{2t^2} dt = x e^{2x^2}
$$
于是原极限变为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^2} \int_0^x e^{t^2} dt}{x e^{2x^2}}
= \lim_{x \to 0} \frac{2 \int_0^x e^{t^2} dt}{x e^{x^2}}
$$
此时仍是 $\frac{0}{0}$ 型，再次使用洛必达法则。
分子导数为 $2 e^{x^2}$，分母导数为：
$$
\frac{d}{dx} (x e^{x^2}) = e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} = e^{x^2}(1 + 2x^2)
$$
因此：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^2}}{e^{x^2}(1 + 2x^2)}
= \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x^2}
= 2
$$
答案：
$$
\boxed{2}
$$
难度评级：★★☆☆☆