同济高数 第5章 第5-2-15题

[AI解答]

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证明：
已知
$$
F(x)=\frac{1}{x-a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt,\quad x\in(a,b).
$$
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由微积分基本定理，$F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导。对 $F(x)$ 求导：

$$
F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{1}{x-a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt \right).
$$

使用商法则：
设 $u(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$，$v(x)=x-a$，则
$$
F'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.
$$
其中 $u'(x)=f(x)$，$v'(x)=1$，因此
$$
F'(x)=\frac{f(x)(x-a)-\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt}{(x-a)^2}.
$$

要证明 $F'(x)\le 0$，只需证分子
$$
N(x)=f(x)(x-a)-\int_{a}^{x} f(t)\,dt \le 0.
$$

由积分中值定理，存在 $\xi\in(a,x)$ 使得
$$
\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(\xi)(x-a).
$$
于是
$$
N(x)=f(x)(x-a)-f(\xi)(x-a)=(x-a)\bigl(f(x)-f(\xi)\bigr).
$$
因为 $x-a>0$，所以 $N(x)$ 的符号由 $f(x)-f(\xi)$ 决定。

已知 $f'(x)\le 0$，故 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调不增。又 $\xi < x$，因此
$$
f(x)\le f(\xi) \quad\Rightarrow\quad f(x)-f(\xi)\le 0.
$$
从而 $N(x)\le 0$，分母 $(x-a)^2>0$，所以
$$
F'(x)\le 0,\quad \forall x\in(a,b).
$$

证毕。

难度：★★☆☆☆