同济高数 第5章 第5-2-16题

[AI解答]

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（1）证明 $S(x)$ 为奇函数。
由定义
$$
S(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \, \mathrm{d}t,
$$
考虑
$$
S(-x)=\displaystyle{\int}_{0}^{-x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \, \mathrm{d}t.
$$
作变量代换 $u=-t$，则 $t=-u$，$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，且当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=-x$ 时 $u=x$，于是
$$
S(-x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi (-u)^{2}}{2} \, (-\mathrm{d}u)
= -\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi u^{2}}{2} \, \mathrm{d}u = -S(x).
$$
因此 $S(-x)=-S(x)$，即 $S(x)$ 为奇函数。

（2）求 $S(x)$ 的极小值点。
由微积分基本定理，
$$
S'(x)=\sin \frac{\pi x^{2}}{2}.
$$
令 $S'(x)=0$，得
$$
\sin \frac{\pi x^{2}}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\pi x^{2}}{2}=k\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
$$
即
$$
x^{2}=2k,\quad k=0,1,2,\dots
$$
（因为 $x^{2}\ge 0$，所以 $k$ 取非负整数）。
于是驻点为 $x=0$ 及 $x=\pm\sqrt{2k},\;k=1,2,\dots$

再求二阶导数：
$$
S''(x)=\cos\frac{\pi x^{2}}{2}\cdot \pi x.
$$
- 当 $x=0$ 时，$S''(0)=0$，需进一步判断。
考察 $S'(x)$ 在 $x=0$ 附近符号：当 $x>0$ 且很小时，$\displaystyle \frac{\pi x^{2}}{2}>0$ 很小，$\sin$ 为正，故 $S'(x)>0$；当 $x<0$ 且很小时，$x^{2}$ 同样很小，$\sin$ 仍为正，但 $x$ 为负，由奇函数性质 $S'(x)$ 也为正？实际上直接看：$S'(x)=\sin(\pi x^{2}/2)$ 是偶函数，在 $x=0$ 附近恒正，因此 $x=0$ 不是极值点（函数单调增）。

- 对于 $x=\sqrt{2k}$（$k\ge 1$），此时 $\displaystyle \frac{\pi x^{2}}{2}=k\pi$，
$$
\cos(k\pi)=(-1)^{k},\quad x>0,
$$
所以
$$
S''(\sqrt{2k})=(-1)^{k}\cdot \pi\sqrt{2k}.
$$
当 $k$ 为奇数时，$S''<0$，为极大值点；当 $k$ 为偶数时，$S''>0$，为极小值点。

- 对于 $x=-\sqrt{2k}$（$k\ge 1$），由奇函数对称性，极值类型与正侧相反：
因为 $S''(-x)=-S''(x)$（可由二阶导数表达式验证），所以当 $k$ 为偶数时，$S''(-\sqrt{2k})<0$，为极大值点；当 $k$ 为奇数时，$S''(-\sqrt{2k})>0$，为极小值点。

因此极小值点为：
$$
x=\sqrt{4m},\; m=1,2,3,\dots \quad\text{以及}\quad x=-\sqrt{4m-2},\; m=1,2,3,\dots
$$
即
$$
x=\pm\sqrt{2k},\quad k=2,6,10,\dots\;(\text{即 }k\equiv 2\pmod{4})\text{ 的正根},\quad k=1,5,9,\dots\;(\text{即 }k\equiv 1\pmod{4})\text{ 的负根}.
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及变上限积分求导、奇偶性证明、三角函数方程及二阶导数判别极值，有一定综合性，但计算不复杂。）