同济高数 第5章 第5-3-3题
📝 题目
3．证明： $\displaystyle{\int}_{x}^{1} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}=\displaystyle{\int}_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}(x\gt 0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明：
$$
\int_{x}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} = \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}, \quad x>0
$$
证明步骤：
1. 考虑左边积分
$$
I = \int_{x}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}
$$
作变量代换：令 $ t = \frac{1}{u} $，则
$$
\mathrm{d}t = -\frac{1}{u^{2}} \mathrm{d}u
$$
当 $ t = x $ 时，$ u = \frac{1}{x} $；当 $ t = 1 $ 时，$ u = 1 $。
2. 代入积分得
$$
I = \int_{u = \frac{1}{x}}^{1} \frac{1}{1+\left(\frac{1}{u}\right)^{2}} \cdot \left(-\frac{1}{u^{2}}\right) \mathrm{d}u
$$
化简被积函数：
$$
\frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}} = \frac{1}{\frac{u^{2}+1}{u^{2}}} = \frac{u^{2}}{1+u^{2}}
$$
因此
$$
I = \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{u^{2}}{1+u^{2}} \cdot \left(-\frac{1}{u^{2}}\right) \mathrm{d}u
= \int_{\frac{1}{x}}^{1} -\frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{d}u
$$
3. 交换积分上下限，去掉负号：
$$
I = \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{d}u
$$
将积分变量 $ u $ 改回 $ t $，即得
$$
\int_{x}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} = \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}
$$
证毕。
难度：★☆☆☆☆