同济高数 第6章 第6-2-15题
📝 题目
15．用积分方法证明图 6－23 中球缺的体积为
$$
V=\pi H^{2}\left(R-\frac{H}{3}\right) .
$$
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💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们采用定积分的元素法（微元法）来推导球缺的体积公式。设球的半径为 $R$，球缺的高为 $H$（$0 < H \le 2R$）。建立坐标系如图：将球心置于原点，球缺底面平行于 $xOy$ 平面，且球缺位于 $z$ 轴正方向一侧。
球面方程为：
$$
x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
$$
球缺的底面在 $z = R - H$ 处，顶面在 $z = R$ 处（球顶）。我们考虑用垂直于 $z$ 轴的平面去截球缺，得到一系列圆盘形薄片。
在高度 $z$ 处（$R-H \le z \le R$），截得的圆半径为：
$$
r(z) = \sqrt{R^2 - z^2}.
$$
该圆盘的面积为：
$$
A(z) = \pi r(z)^2 = \pi (R^2 - z^2).
$$
取厚度为 $dz$ 的薄片，其体积微元为：
$$
dV = A(z) \, dz = \pi (R^2 - z^2) \, dz.
$$
因此，球缺的体积为定积分：
$$
V = \int_{z = R-H}^{R} \pi (R^2 - z^2) \, dz.
$$
计算该积分：
$$
\begin{aligned}
V &= \pi \int_{R-H}^{R} (R^2 - z^2) \, dz \\
&= \pi \left[ R^2 z - \frac{z^3}{3} \right]_{R-H}^{R} \\
&= \pi \left[ \left( R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3} \right) - \left( R^2 (R-H) - \frac{(R-H)^3}{3} \right) \right] \\
&= \pi \left[ \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) - \left( R^3 - R^2 H - \frac{(R-H)^3}{3} \right) \right] \\
&= \pi \left[ \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2 H + \frac{(R-H)^3}{3} \right] \\
&= \pi \left[ -\frac{R^3}{3} + R^2 H + \frac{(R-H)^3}{3} \right].
\end{aligned}
$$
展开 $(R-H)^3 = R^3 - 3R^2 H + 3R H^2 - H^3$，代入：
$$
\begin{aligned}
V &= \pi \left[ -\frac{R^3}{3} + R^2 H + \frac{R^3 - 3R^2 H + 3R H^2 - H^3}{3} \right] \\
&= \pi \left[ -\frac{R^3}{3} + R^2 H + \frac{R^3}{3} - R^2 H + R H^2 - \frac{H^3}{3} \right] \\
&= \pi \left[ R H^2 - \frac{H^3}{3} \right] \\
&= \pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right).
\end{aligned}
$$
证毕。
难度：★★☆☆☆