同济高数 第6章 第6-2-16题

[AI解答]

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（1） 曲线 $y=x^2$ 与 $x=y^2$ 所围图形绕 $y$ 轴旋转。

首先求交点：
由 $y=x^2$ 及 $x=y^2$，代入得 $y = (y^2)^2 = y^4$，即 $y(y^3-1)=0$，得 $y=0$ 或 $y=1$。
对应 $x$：当 $y=0$ 时 $x=0$；当 $y=1$ 时 $x=1$。
两曲线在 $y\in[0,1]$ 上，$x=y^2$ 在右侧，$x=\sqrt{y}$ 在左侧（因为 $y=x^2$ 即 $x=\sqrt{y}$）。

绕 $y$ 轴旋转，用圆盘法（对 $y$ 积分）：
外半径 $R(y)=\sqrt{y}$，内半径 $r(y)=y^2$，
体积为
$$
V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (\sqrt{y})^2 - (y^2)^2 \right] dy
= \pi \int_{0}^{1} (y - y^4) dy
= \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1}
= \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right)
= \frac{3\pi}{10}.
$$

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（2） 曲线 $y=\arcsin x$，直线 $x=1$，$y=0$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转。

区域：$0 \le x \le 1$，$0 \le y \le \arcsin x$。
绕 $x$ 轴旋转，用圆盘法：
半径 $R(x)=\arcsin x$，
$$
V = \pi \int_{0}^{1} (\arcsin x)^2 dx.
$$
令 $t = \arcsin x$，则 $x = \sin t$，$dx = \cos t\, dt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$，
$$
V = \pi \int_{0}^{\pi/2} t^2 \cos t \, dt.
$$
分部积分：
令 $u = t^2$，$dv = \cos t\, dt$，则 $du = 2t\, dt$，$v = \sin t$，
$$
\int t^2 \cos t\, dt = t^2 \sin t - \int 2t \sin t\, dt.
$$
再对 $\int t \sin t\, dt$ 分部：令 $u=t$，$dv=\sin t\, dt$，得 $du=dt$，$v=-\cos t$，
$$
\int t \sin t\, dt = -t\cos t + \int \cos t\, dt = -t\cos t + \sin t.
$$
因此
$$
\int t^2 \cos t\, dt = t^2 \sin t - 2(-t\cos t + \sin t) = t^2 \sin t + 2t\cos t - 2\sin t.
$$
代入上下限：
当 $t=\frac{\pi}{2}$：$\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\cdot 1 + 2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 0 - 2\cdot 1 = \frac{\pi^2}{4} - 2$；
当 $t=0$：$0+0-0=0$。
所以
$$
V = \pi \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) = \frac{\pi^3}{4} - 2\pi.
$$

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（3） 圆 $x^{2}+(y-5)^{2}=16$ 绕 $x$ 轴旋转。

圆半径 $4$，圆心 $(0,5)$。绕 $x$ 轴旋转得到的是圆环体（轮胎形）。
用圆环体体积公式：$V = 2\pi R \cdot \pi r^2$，其中 $R$ 为圆心到旋转轴距离，$r$ 为截面圆半径。
这里 $R=5$，$r=4$，
$$
V = 2\pi \cdot 5 \cdot (\pi \cdot 4^2) = 2\pi \cdot 5 \cdot 16\pi = 160\pi^2.
$$

也可用积分验证：
上半圆 $y = 5 + \sqrt{16 - x^2}$，下半圆 $y = 5 - \sqrt{16 - x^2}$，
绕 $x$ 轴旋转体积为
$$
V = \pi \int_{-4}^{4} \left[(5+\sqrt{16-x^2})^2 - (5-\sqrt{16-x^2})^2\right] dx
= \pi \int_{-4}^{4} 20\sqrt{16-x^2}\, dx
= 20\pi \cdot \frac{1}{2}\pi\cdot 4^2 = 160\pi^2.
$$

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（4） 摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 一拱 ($0\le t\le 2\pi$)，$y=0$，绕直线 $y=2a$ 旋转。

摆线一拱在 $y=0$ 到 $y=2a$ 之间。绕水平轴 $y=2a$ 旋转，用圆环法（washer method）对 $x$ 积分。
旋转轴在 $y=2a$，任一点到轴的距离为 $|2a - y|$。
对于每个 $x$，外半径 $R = 2a - y_{\text{下}}$，内半径 $r = 2a - y_{\text{上}}$，但注意这里曲线是单值的：一拱中 $y$ 从 $0$ 到 $2a$，所以 $y_{\text{下}}=0$，$y_{\text{上}}=a(1-\cos t)$。
但更方便用参数形式：
体积元素 $dV = \pi\left[(2a - 0)^2 - (2a - y)^2\right] dx$，
即
$$
dV = \pi \left[4a^2 - (2a - y)^2\right] dx.
$$
由 $dx = a(1-\cos t) dt$，且 $y = a(1-\cos t)$，
$$
V = \pi \int_{0}^{2\pi} \left[4a^2 - (2a - a(1-\cos t))^2\right] a(1-\cos t)\, dt.
$$
化简 $2a - a(1-\cos t) = a(1+\cos t)$，
所以
$$
V = \pi a \int_{0}^{2\pi} \left[4a^2 - a^2(1+\cos t)^2\right] (1-\cos t)\, dt
= \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} \left[4 - (1+2\cos t + \cos^2 t)\right] (1-\cos t)\, dt.
$$
括号内：$4 - 1 - 2\cos t - \cos^2 t = 3 - 2\cos t - \cos^2 t$。
乘上 $(1-\cos t)$：
$$
(3 - 2\cos t - \cos^2 t)(1-\cos t) = 3 - 3\cos t - 2\cos t + 2\cos^2 t - \cos^2 t + \cos^3 t
= 3 - 5\cos t + \cos^2 t + \cos^3 t.
$$
用 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，$\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}$，
则被积函数为
$$
3 - 5\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2} + \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}
= 3 + \frac{1}{2} + \left(-5 + \frac{3}{4}\right)\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t + \frac{1}{4}\cos 3t
= \frac{7}{2} - \frac{17}{4}\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t + \frac{1}{4}\cos 3t.
$$
在 $[0,2\pi]$ 上，$\cos kt$ 的积分为零，所以
$$
V