同济高数 第6章 第6-2-23题

[AI解答]

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要计算曲线 $y = \ln x$ 上从 $x = \sqrt{3}$ 到 $x = 2\sqrt{2}$ 的弧长，使用弧长公式：
$$
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx.
$$

第一步：求导数
$$
y = \ln x \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}.
$$

第二步：代入弧长公式
$$
s = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{x} \right)^2} \, dx
= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \, dx
= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \, dx.
$$

第三步：换元积分
令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且当 $x = \sqrt{3}$ 时，$t = \frac{\pi}{3}$；当 $x = 2\sqrt{2}$ 时，$t = \arctan(2\sqrt{2})$，但这里我们保留不定积分先计算。

更简便的方法是使用公式：
$$
\int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \, dx = \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left| \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x} \right| + C.
$$
（该结果可通过分部积分或三角换元得到，此处直接引用。）

第四步：代入上下限
$$
s = \left[ \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left( \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x} \right) \right]_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}.
$$

先计算上限 $x = 2\sqrt{2}$：
$$
\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1} = \sqrt{8 + 1} = 3,
$$
$$
\frac{1 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
$$
所以上限部分为：
$$
3 - \ln(\sqrt{2}).
$$

再计算下限 $x = \sqrt{3}$：
$$
\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1} = \sqrt{3 + 1} = 2,
$$
$$
\frac{1 + 2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.
$$
所以下限部分为：
$$
2 - \ln(\sqrt{3}).
$$

第五步：相减得弧长
$$
s = \left(3 - \ln\sqrt{2}\right) - \left(2 - \ln\sqrt{3}\right)
= 1 - \ln\sqrt{2} + \ln\sqrt{3}
= 1 + \ln\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
= 1 + \ln\sqrt{\frac{3}{2}}
= 1 + \frac{1}{2} \ln\frac{3}{2}.
$$

因此，所求弧长为：
$$
\boxed{1 + \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}}.
$$

难度：★★☆☆☆