同济高数 第6章 第6-2-26题
📝 题目
26．计算星形线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$（图6－26）的全长．
💡 答案解析
[AI解答]
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星形线的参数方程为
$$
x = a \cos^3 t,\quad y = a \sin^3 t,\quad t \in [0, 2\pi].
$$
弧长公式为
$$
s = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt.
$$
先求导数：
$$
\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t.
$$
于是
$$
\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2
= 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t
= 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t)
= 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t.
$$
因此
$$
\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } = 3a |\cos t \sin t|.
$$
由于星形线关于坐标轴对称，可先计算第一象限的弧长再乘以 4。在第一象限，$ t \in [0, \frac{\pi}{2}] $，此时 $\cos t \ge 0, \sin t \ge 0$，绝对值可去掉：
$$
s_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3a \cos t \sin t \, dt.
$$
利用 $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t$，得
$$
s_1 = 3a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2t \, dt
= \frac{3a}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \, dt.
$$
令 $u = 2t$，则 $du = 2 dt$，积分限变为 $0$ 到 $\pi$：
$$
s_1 = \frac{3a}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin u \, du
= \frac{3a}{4} \left[ -\cos u \right]_{0}^{\pi}
= \frac{3a}{4} \left( -\cos\pi + \cos 0 \right)
= \frac{3a}{4} (1 + 1) = \frac{3a}{2}.
$$
因此星形线全长为
$$
s = 4 s_1 = 4 \cdot \frac{3a}{2} = 6a.
$$
难度：★★☆☆☆