同济高数 第6章 第6-2-4题
📝 题目
4．求抛物线 $y^{2}=2 p x$ 及其在点 $\displaystyle \left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求抛物线 $y^2 = 2px$ 与其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成图形的面积。
第一步：求法线方程
对抛物线方程两边关于 $x$ 求导：
$$
2y \frac{dy}{dx} = 2p \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{p}{y}.
$$
在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处，斜率
$$
k_{\text{切}} = \frac{p}{p} = 1.
$$
因此法线斜率为 $-1$，法线方程为：
$$
y - p = -1 \left(x - \frac{p}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad y = -x + \frac{3p}{2}.
$$
第二步：求法线与抛物线的另一交点
联立
$$
\begin{cases}
y^2 = 2px,\\
y = -x + \frac{3p}{2}.
\end{cases}
$$
代入得：
$$
\left(-x + \frac{3p}{2}\right)^2 = 2px.
$$
展开：
$$
x^2 - 3px + \frac{9p^2}{4} = 2px
\quad\Rightarrow\quad x^2 - 5px + \frac{9p^2}{4} = 0.
$$
解得：
$$
x = \frac{5p \pm \sqrt{25p^2 - 9p^2}}{2} = \frac{5p \pm 4p}{2}.
$$
即 $x = \frac{9p}{2}$ 或 $x = \frac{p}{2}$。
已知点横坐标 $\frac{p}{2}$ 是切点，另一交点横坐标为 $\frac{9p}{2}$，对应纵坐标：
$$
y = -\frac{9p}{2} + \frac{3p}{2} = -3p.
$$
所以另一交点为 $\left(\frac{9p}{2}, -3p\right)$。
第三步：确定积分区域与面积公式
抛物线 $y^2 = 2px$ 可写成 $x = \frac{y^2}{2p}$，法线方程 $x = -y + \frac{3p}{2}$。
图形在 $y$ 方向从 $y = -3p$ 到 $y = p$，法线在右侧，抛物线在左侧。
面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{y=-3p}^{p} \left[ \left(-y + \frac{3p}{2}\right) - \frac{y^2}{2p} \right] \, dy}.
$$
第四步：计算积分
$$
A = \displaystyle{\int_{-3p}^{p} \left( -y + \frac{3p}{2} - \frac{y^2}{2p} \right) dy}.
$$
逐项积分：
$$
\int -y \, dy = -\frac{y^2}{2}, \quad
\int \frac{3p}{2} \, dy = \frac{3p}{2}y, \quad
\int -\frac{y^2}{2p} \, dy = -\frac{y^3}{6p}.
$$
所以：
$$
A = \left[ -\frac{y^2}{2} + \frac{3p}{2}y - \frac{y^3}{6p} \right]_{y=-3p}^{p}.
$$
先代入 $y = p$：
$$
-\frac{p^2}{2} + \frac{3p}{2}\cdot p - \frac{p^3}{6p}
= -\frac{p^2}{2} + \frac{3p^2}{2} - \frac{p^2}{6}
= \left( -\frac{3}{6} + \frac{9}{6} - \frac{1}{6} \right)p^2 = \frac{5}{6}p^2.
$$
再代入 $y = -3p$：
$$
-\frac{9p^2}{2} + \frac{3p}{2}(-3p) - \frac{(-27p^3)}{6p}
= -\frac{9p^2}{2} - \frac{9p^2}{2} + \frac{27p^2}{6}
= -9p^2 + \frac{9p^2}{2} = -\frac{9p^2}{2}.
$$
注意这里 $\frac{27p^2}{6} = \frac{9p^2}{2}$，所以：
$$
-\frac{9p^2}{2} - \frac{9p^2}{2} + \frac{9p^2}{2} = -\frac{9p^2}{2}.
$$
因此：
$$
A = \frac{5}{6}p^2 - \left( -\frac{9}{2}p^2 \right)
= \frac{5}{6}p^2 + \frac{27}{6}p^2 = \frac{32}{6}p^2 = \frac{16}{3}p^2.
$$
最终答案：
$$
\boxed{\dfrac{16}{3}p^{2}}
$$
难度：★★☆☆☆