同济高数 第6章 第6-2-9题

[AI解答]

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（1） 曲线 $\rho=3\cos\theta$ 与 $\rho=1+\cos\theta$ 的公共部分面积。

首先求交点：令
$$
3\cos\theta = 1+\cos\theta \quad\Rightarrow\quad 2\cos\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac12
$$
得 $\theta = \pm\frac{\pi}{3}$。
由对称性，只考虑 $\theta\in[0,\pi/3]$，然后面积乘2。

在 $\theta\in[0,\pi/3]$ 时，$\rho=3\cos\theta$ 在外侧，$\rho=1+\cos\theta$ 在内侧，因此公共部分面积为
$$
A = 2 \cdot \frac12 \int_{0}^{\pi/3} \left[(3\cos\theta)^2 - (1+\cos\theta)^2\right] d\theta
$$
即
$$
A = \int_{0}^{\pi/3} \left(9\cos^2\theta - (1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\right) d\theta
= \int_{0}^{\pi/3} \left(8\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1\right) d\theta
$$
利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，
$$
8\cos^2\theta = 4(1+\cos2\theta)
$$
所以被积函数为
$$
4 + 4\cos2\theta - 2\cos\theta - 1 = 3 + 4\cos2\theta - 2\cos\theta
$$
积分得
$$
A = \left[3\theta + 2\sin2\theta - 2\sin\theta\right]_{0}^{\pi/3}
$$
代入 $\theta=\pi/3$：
$$
3\cdot\frac{\pi}{3} = \pi,\quad 2\sin\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,\quad -2\sin\frac{\pi}{3}=-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\sqrt3
$$
所以
$$
A = \pi + \sqrt3 - \sqrt3 = \pi
$$

因此公共部分面积为 $\boxed{\pi}$。

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（2） 曲线 $\rho=\sqrt{2}\sin\theta$ 与 $\rho^2=\cos2\theta$ 的公共部分面积。

先求交点：
由 $\rho=\sqrt{2}\sin\theta$ 得 $\rho^2 = 2\sin^2\theta$，代入 $\rho^2=\cos2\theta$：
$$
2\sin^2\theta = \cos2\theta = 1-2\sin^2\theta
$$
所以
$$
4\sin^2\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta = \frac12 \quad (\text{取正，因}\rho\ge0)
$$
得 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5\pi}{6}$。
由对称性，只考虑第一象限部分，$\theta\in[0,\pi/6]$。

在 $\theta\in[0,\pi/6]$ 时，比较两曲线：
$\rho=\sqrt{2}\sin\theta$ 是圆心在 $(0,\frac{\sqrt2}{2})$、半径 $\frac{\sqrt2}{2}$ 的圆；
$\rho^2=\cos2\theta$ 是双纽线，在 $\theta\in[0,\pi/4]$ 有定义。
在交点 $\theta=\pi/6$ 处相等，在 $\theta=0$ 附近，$\sqrt{2}\sin\theta$ 很小，而 $\rho^2=\cos2\theta$ 接近1，所以双纽线在外侧。

因此公共部分面积由两部分组成：
从 $\theta=0$ 到 $\pi/6$ 取双纽线，从 $\theta=\pi/6$ 到 $\pi/4$ 取圆（因为双纽线到 $\pi/4$ 缩为0），但注意圆在 $\theta=\pi/2$ 才到0，所以需考虑对称性。

更简单的方法：公共部分由两个对称区域组成，总面积
$$
A = 2\left[ \frac12\int_{0}^{\pi/6} \cos2\theta\, d\theta + \frac12\int_{\pi/6}^{\pi/4} 2\sin^2\theta\, d\theta \right]
$$
即
$$
A = \int_{0}^{\pi/6} \cos2\theta\, d\theta + \int_{\pi/6}^{\pi/4} 2\sin^2\theta\, d\theta
$$
计算第一个积分：
$$
\int_{0}^{\pi/6} \cos2\theta\, d\theta = \frac12 \sin2\theta\Big|_{0}^{\pi/6} = \frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{4}
$$
第二个积分：
$$
2\sin^2\theta = 1 - \cos2\theta
$$
所以
$$
\int_{\pi/6}^{\pi/4} (1-\cos2\theta)\, d\theta = \left[\theta - \frac12\sin2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/4}
$$
代入：
$\theta=\pi/4$ 得 $\frac{\pi}{4} - \frac12\cdot1 = \frac{\pi}{4} - \frac12$
$\theta=\pi/6$ 得 $\frac{\pi}{6} - \frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt3}{4}$
相减得
$$
\left(\frac{\pi}{4} - \frac12\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt3}{4}\right) = \frac{\pi}{12} - \frac12 + \frac{\sqrt3}{4}
$$
因此总面积
$$
A = \frac{\sqrt3}{4} + \frac{\pi}{12} - \frac12 + \frac{\sqrt3}{4} = \frac{\pi}{12} - \frac12 + \frac{\sqrt3}{2}
$$

所以公共部分面积为 $\boxed{\dfrac{\pi}{12} - \dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}}$。

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难度评级：★★★☆☆