同济高数 第6章 第6-3-10题

[AI解答]

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问题分析
均匀细直棒长度为 $l$，线密度 $\mu$，质量为 $m$ 的质点位于与棒一端垂直距离为 $a$ 处。
建立坐标系：将棒放在 $x$ 轴上，从 $x=0$ 到 $x=l$，质点 $M$ 位于点 $(0, a)$。
取微元 $dx$，其质量为 $dm = \mu dx$，位置为 $(x,0)$。
微元对质点的引力大小由万有引力公式给出（设引力常数为 $G$）：

$$
dF = G \frac{m \cdot dm}{r^2} = G \frac{m \mu dx}{x^2 + a^2}
$$

方向沿微元与质点的连线。
由于对称性，水平方向分量可能相互抵消？这里不是对称放置（棒在正半轴），所以需要分别计算水平与垂直分量。

步骤1：写出微元引力的分量
设 $\theta$ 为连线与垂直方向的夹角，则
$$
\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}}, \quad \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}
$$
垂直分量（向上为正）：
$$
dF_y = dF \cos\theta = G \frac{m \mu a \, dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}
$$
水平分量（向右为正）：
$$
dF_x = dF \sin\theta = G \frac{m \mu x \, dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}
$$

步骤2：积分求总引力
垂直分量：
$$
F_y = \displaystyle\int_{0}^{l} G \frac{m \mu a}{(x^2 + a^2)^{3/2}} dx
= G m \mu a \displaystyle\int_{0}^{l} \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}
$$
已知积分公式：
$$
\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} + C
$$
所以
$$
F_y = G m \mu a \cdot \left[ \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} \right]_{0}^{l}
= \frac{G m \mu}{a} \cdot \frac{l}{\sqrt{l^2 + a^2}}
$$

水平分量：
$$
F_x = \displaystyle\int_{0}^{l} G \frac{m \mu x}{(x^2 + a^2)^{3/2}} dx
= G m \mu \displaystyle\int_{0}^{l} \frac{x dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}
$$
令 $u = x^2 + a^2$，则 $du = 2x dx$，积分变为
$$
\int \frac{x dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{1}{2} \int u^{-3/2} du = -u^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}
$$
所以
$$
F_x = G m \mu \left[ -\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right]_{0}^{l}
= G m \mu \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + a^2}} \right)
$$

步骤3：结果表达
细棒对质点的引力为向量：
$$
\vec{F} = \left( G m \mu \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + a^2}} \right),\; \frac{G m \mu l}{a \sqrt{l^2 + a^2}} \right)
$$
其中水平向右为正，垂直向上为正。

难度评级：★★★☆☆
（涉及微元法、引力分解与积分计算，需要掌握基本积分公式，但思路直接，无复杂技巧。）