同济高数 第6章 第6-3-11题

[AI解答]

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问题分析
我们有一半径为 $R$、圆心角为 $\varphi$ 的圆弧形细棒，线密度为常数 $\mu$。在圆心处有一质量为 $m$ 的质点 $M$。要求细棒对质点 $M$ 的引力。
由于对称性，我们可以将圆弧对称放置，使得引力在某一方向的分量可能抵消，简化计算。

步骤1：建立坐标系
将圆弧放在 $xy$ 平面内，圆心在原点 $O$，质点 $M$ 也在原点。设圆弧关于 $x$ 轴对称，即圆弧从角度 $-\frac{\varphi}{2}$ 到 $\frac{\varphi}{2}$。
取微元：对应角度 $\theta$ 处取一小段弧长 $ds = R\,d\theta$，该微元的质量为 $dm = \mu ds = \mu R d\theta$。

步骤2：引力微元分析
该微元对质点的引力大小（万有引力公式）为
$$
dF = G \frac{m\, dm}{R^2} = G \frac{m \mu R d\theta}{R^2} = \frac{G m \mu}{R} d\theta,
$$
方向沿微元与质点的连线，即从原点指向微元位置（径向向外）。由于质点位于圆心，微元对它的引力方向是径向的。

步骤3：分解为分量
由于对称性，圆弧关于 $x$ 轴对称，$y$ 方向的分量会相互抵消，只需计算 $x$ 方向的分量。
对于角度 $\theta$ 处的微元，其引力方向与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，因此
$$
dF_x = dF \cos\theta = \frac{G m \mu}{R} \cos\theta\, d\theta,
$$
$$
dF_y = dF \sin\theta = \frac{G m \mu}{R} \sin\theta\, d\theta.
$$

步骤4：积分求合力
对 $x$ 方向积分：
$$
F_x = \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \frac{G m \mu}{R} \cos\theta\, d\theta
= \frac{G m \mu}{R} \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \cos\theta\, d\theta.
$$
计算积分：
$$
\int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \cos\theta\, d\theta = \left[ \sin\theta \right]_{-\varphi/2}^{\varphi/2}
= \sin\frac{\varphi}{2} - \left(-\sin\frac{\varphi}{2}\right) = 2\sin\frac{\varphi}{2}.
$$
因此
$$
F_x = \frac{G m \mu}{R} \cdot 2\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{2G m \mu}{R} \sin\frac{\varphi}{2}.
$$
对 $y$ 方向积分：
$$
F_y = \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \frac{G m \mu}{R} \sin\theta\, d\theta
= \frac{G m \mu}{R} \int_{-\varphi/2}^{\varphi/2} \sin\theta\, d\theta.
$$
由于 $\sin\theta$ 是奇函数，对称区间积分为零：
$$
F_y = 0.
$$

步骤5：结果
细棒对质点 $M$ 的引力大小为
$$
F = \frac{2G m \mu}{R} \sin\frac{\varphi}{2},
$$
方向沿圆弧对称轴（$x$ 轴正方向，指向圆弧中心方向）。

最终答案
$$
\boxed{F = \frac{2G m \mu}{R} \sin\frac{\varphi}{2}}
$$

难度：★★☆☆☆