同济高数 第6章 第6-3-4题
📝 题目
4．一物体按规律 $x=c t^{3}$ 做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由 $x=0$ 移至 $x=a$ 时，克服介质阻力所做的功．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知物体运动规律为
$$
x = c t^{3}
$$
其中 $c$ 为常数。先求速度 $v$：
$$
v = \frac{dx}{dt} = 3c t^{2}
$$
阻力与速度平方成正比，设比例系数为 $k$（$k>0$），则阻力大小为
$$
F_{\text{阻}} = k v^{2} = k (3c t^{2})^{2} = 9k c^{2} t^{4}
$$
由于克服阻力做功的方向与阻力方向相反，因此元功为
$$
dW = F_{\text{阻}} \, dx
$$
由 $x = c t^{3}$ 得 $dx = 3c t^{2} dt$，代入得
$$
dW = 9k c^{2} t^{4} \cdot 3c t^{2} \, dt = 27 k c^{3} t^{6} \, dt
$$
物体从 $x=0$ 到 $x=a$ 对应时间 $t$ 从 $0$ 到 $t_0$，其中 $a = c t_0^{3}$，即
$$
t_0 = \left( \frac{a}{c} \right)^{1/3}
$$
因此总功为
$$
W = \int_{0}^{t_0} 27 k c^{3} t^{6} \, dt
= 27 k c^{3} \displaystyle\int_{0}^{t_0} t^{6} \, dt
= 27 k c^{3} \cdot \frac{t_0^{7}}{7}
$$
代入 $\displaystyle t_0^{3} = \frac{a}{c}$，则 $\displaystyle t_0^{7} = \left( t_0^{3} \right)^{7/3} = \left( \frac{a}{c} \right)^{7/3}$，于是
$$
W = \frac{27}{7} k c^{3} \left( \frac{a}{c} \right)^{7/3}
= \frac{27}{7} k c^{3} \cdot a^{7/3} c^{-7/3}
= \frac{27}{7} k c^{2/3} a^{7/3}
$$
因此克服阻力所做的功为
$$
\boxed{W = \frac{27}{7} k c^{2/3} a^{7/3}}
$$
难度：★★☆☆☆