同济高数 第6章 第6-3-9题

[AI解答]

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步骤1：建立坐标系与确定变量
将等腰三角形顶点置于坐标原点，底边水平，三角形对称轴为竖直方向。设水面为水平线，顶离水面 3 cm，即顶点位于水面下 3 cm 处。
三角形底边长 8 cm，高 6 cm，因此底边位于顶点下方 6 cm 处，即水面下 9 cm 处。
取竖直向下为 $x$ 轴正方向，原点在顶点处。则在深度 $x$ 处（$0 \le x \le 6$），三角形截面的宽度由相似三角形可得：
$$
\text{宽度} = \frac{8}{6}x = \frac{4}{3}x \quad (\text{cm})
$$
因为顶点在上，底在下，所以宽度随深度线性增加。

步骤2：确定压强与微元压力
水的密度 $\rho = 1\,\text{g/cm}^3$（物理单位制下，1 g/cm³），重力加速度 $g = 980\,\text{cm/s}^2$，但工程上常用水压计算时，压强可用水深表示：
$$
p = \rho g h
$$
其中 $h$ 为距水面的深度。
顶点距水面 3 cm，因此深度为 $x$ 的点实际距水面深度为 $x+3$ cm。
所以压强为
$$
p(x) = \rho g (x+3)
$$
取水的密度 $\rho = 1\,\text{g/cm}^3$，$g = 980\,\text{cm/s}^2$，则压强单位为 dyn/cm²。但若仅求压力数值（以克力或牛顿表示），可先保留符号。

在深度 $x$ 处取一水平窄条，厚度为 $dx$，宽度为 $\displaystyle \frac{4}{3}x$，面积微元
$$
dA = \frac{4}{3}x \, dx
$$
该窄条所受压力微元
$$
dF = p(x) \, dA = \rho g (x+3) \cdot \frac{4}{3}x \, dx
$$

步骤3：积分求总压力
总压力为
$$
F = \int_{0}^{6} \rho g (x+3) \cdot \frac{4}{3}x \, dx
$$
将常数提出：
$$
F = \frac{4}{3} \rho g \int_{0}^{6} (x^2 + 3x) \, dx
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{6} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{216}{3} = 72
$$
$$
\int_{0}^{6} 3x \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{6} = 3 \cdot \frac{36}{2} = 54
$$
所以
$$
\int_{0}^{6} (x^2 + 3x) dx = 72 + 54 = 126
$$
因此
$$
F = \frac{4}{3} \rho g \cdot 126 = 168 \, \rho g
$$

步骤4：代入数值
取 $\rho = 1\,\text{g/cm}^3$，$g = 980\,\text{cm/s}^2$，则
$$
F = 168 \times 1 \times 980 = 164640 \,\text{dyn}
$$
若换算成克力（1克力 = 980 dyn），则
$$
F = \frac{164640}{980} = 168 \,\text{克力}
$$
若以牛顿为单位（1 N = 10⁵ dyn），则
$$
F = 1.6464 \,\text{N}
$$

最终答案：
$$
\boxed{168\,\text{克力} \quad \text{或} \quad 1.6464\,\text{N}}
$$

难度：★★☆☆☆
（中等偏易，只需建立坐标系并应用液体压力积分公式，计算量较小）