同济高数 第7章 第7-3-2题

[AI解答]

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（1）
原方程：
$$
(y^2 - 3x^2) \mathrm{d}y + 2xy \mathrm{d}x = 0,\quad y(0)=1
$$
化为标准形式：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{2xy}{y^2 - 3x^2}
$$
令 $ y = ux $，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$，代入得：
$$
u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\frac{2x(ux)}{(ux)^2 - 3x^2} = -\frac{2u}{u^2 - 3}
$$
整理：
$$
x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\frac{2u}{u^2 - 3} - u = \frac{-2u - u(u^2 - 3)}{u^2 - 3} = \frac{-2u - u^3 + 3u}{u^2 - 3} = \frac{u - u^3}{u^2 - 3}
$$
所以
$$
\frac{u^2 - 3}{u(1 - u^2)} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x}
$$
分解部分分式：
$$
\frac{u^2 - 3}{u(1-u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u} + \frac{C}{1+u}
$$
解得 $A = -3,\ B = -1,\ C = -1$，于是
$$
\int \left( -\frac{3}{u} - \frac{1}{1-u} - \frac{1}{1+u} \right) \mathrm{d}u = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}
$$
积分得：
$$
-3\ln|u| + \ln|1-u| + \ln|1+u| = \ln|x| + C
$$
即
$$
\ln\left| \frac{(1-u)(1+u)}{u^3} \right| = \ln|x| + C
$$
去掉对数：
$$
\frac{1 - u^2}{u^3} = C x
$$
代回 $ u = \frac{y}{x} $：
$$
\frac{1 - \frac{y^2}{x^2}}{\frac{y^3}{x^3}} = C x \quad\Rightarrow\quad \frac{x^2 - y^2}{y^3} = C
$$
代入初值 $x=0, y=1$，左边为 $\frac{0-1}{1} = -1$，所以 $C = -1$，特解为：
$$
\frac{x^2 - y^2}{y^3} = -1 \quad\Rightarrow\quad x^2 - y^2 = -y^3
$$
即
$$
\boxed{x^2 - y^2 + y^3 = 0}
$$

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（2）
方程：
$$
y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x},\quad y(1)=2
$$
令 $ y = ux $，则 $ y' = u + x u'$，代入：
$$
u + x u' = \frac{1}{u} + u \quad\Rightarrow\quad x u' = \frac{1}{u}
$$
分离变量：
$$
u \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x}
$$
积分：
$$
\frac{u^2}{2} = \ln|x| + C
$$
代回 $ u = \frac{y}{x} $：
$$
\frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + C
$$
代入 $x=1, y=2$：
$$
\frac{4}{2} = \ln 1 + C \quad\Rightarrow\quad 2 = C
$$
所以特解：
$$
\frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + 2 \quad\Rightarrow\quad \boxed{y^2 = 2x^2(\ln|x| + 2)}
$$

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（3）
方程：
$$
(x^2 + 2xy - y^2)\mathrm{d}x + (y^2 + 2xy - x^2)\mathrm{d}y = 0,\quad y(1)=1
$$
令 $ y = ux $，则 $\mathrm{d}y = u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u$，代入：
$$
(x^2 + 2x(ux) - (ux)^2)\mathrm{d}x + ((ux)^2 + 2x(ux) - x^2)(u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u) = 0
$$
化简系数：
第一项系数：$x^2(1 + 2u - u^2)$
第二项系数：$x^2(u^2 + 2u - 1)$
方程变为：
$$
x^2(1+2u-u^2)\mathrm{d}x + x^2(u^2+2u-1)(u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u) = 0
$$
除以 $x^2$：
$$
(1+2u-u^2)\mathrm{d}x + (u^2+2u-1)(u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u) = 0
$$
合并 $\mathrm{d}x$ 项系数：
$$
[1+2u-u^2 + u(u^2+2u-1)]\mathrm{d}x + x(u^2+2u-1)\mathrm{d}u = 0
$$
化简 $\mathrm{d}x$ 系数：
$$
1+2u-u^2 + u^3+2u^2-u = 1 + (2u-u) + (-u^2+2u^2) + u^3 = 1 + u + u^2 + u^3
$$
所以：
$$
(1+u+u^2+u^3)\mathrm{d}x + x(u^2+2u-1)\mathrm{d}u = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d}x}{x} = -\frac{u^2+2u-1}{1+u+u^2+u^3}\mathrm{d}u
$$
分母因式分解：$1+u+u^2+u^3 = (1+u)(1+u^2)$，于是
$$
\frac{u^2+2u-1}{(1+u)(1+u^2)} = \frac{A}{1+u} + \frac{Bu+C}{1+u^2}
$$
解得 $A = -1,\ B = 2,\ C = 0$，因此
$$
\frac{\mathrm{d}x}{x} = -\left( -\frac{1}{1+u} + \frac{2u}{1+u^2} \right)\mathrm{d}u = \left( \frac{1}{1+u} - \frac{2u}{1+u^2} \right)\mathrm{d}u
$$
积分：
$$
\ln|x| = \ln|1+u| - \ln(1+u^2) + C
$$
即
$$
\ln|x| = \ln\left| \frac{1+u}{1+u^2} \right| + C
$$
去掉对数：
$$
x = C \cdot \frac{1+u}{1+u^2}
$$
代回 $ u = \frac{y}{x} $：
$$
x = C \cdot \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = C \cdot \frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}} = C \cdot \frac{x+y}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} = C \cdot \frac{x(x+y)}{x^2+y^2}
$$
两边乘以 $x^2+y^2$：
$$
x(x^2+y^2) = C x(x+y)
$$
若 $x \neq 0$，约去 $x$：
$$
x^2 + y^2 = C(x+y)
$$
代入 $x=1,y=1$：
$$
1+1 = C(1+1) \quad\Rightarrow\quad 2 = 2C \quad\Rightarrow\quad C=1
$$
特解：
$$
\boxed{x^2 + y^2 = x + y}
$$

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（4）
方程：
$$
x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y + x \sec\frac{y}{x