同济高数 第7章 第7-3-*4题

[AI解答]

[AI解答]

我们逐一解答这四个方程，通过平移变换化为齐次方程，再求解通解。

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（1）
方程：
$$
(2x - 5y + 3) \mathrm{d}x - (2x + 4y - 6) \mathrm{d}y = 0
$$
改写为：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{2x - 5y + 3}{2x + 4y - 6}
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
2x - 5y + 3 = 0 \\
2x + 4y - 6 = 0
\end{cases}
$$
两式相减得：
$$
-9y + 9 = 0 \Rightarrow y = 1
$$
代入得：
$$
2x - 5 + 3 = 0 \Rightarrow x = 1
$$
故平移变换：
$$
X = x - 1,\quad Y = y - 1
$$
原方程化为齐次：
$$
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \frac{2X - 5Y}{2X + 4Y}
$$
令 $u = \frac{Y}{X}$，则 $Y = uX$，$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}$，代入：
$$
u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = \frac{2 - 5u}{2 + 4u}
$$
整理：
$$
X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = \frac{2 - 5u}{2 + 4u} - u = \frac{2 - 5u - 2u - 4u^2}{2 + 4u} = \frac{2 - 7u - 4u^2}{2 + 4u}
$$
分离变量：
$$
\frac{2 + 4u}{2 - 7u - 4u^2} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}X}{X}
$$
分解分母：
$$
2 - 7u - 4u^2 = -(4u^2 + 7u - 2) = -(4u - 1)(u + 2)
$$
所以：
$$
\frac{2 + 4u}{-(4u - 1)(u + 2)} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}X}{X}
$$
用部分分式：
$$
\frac{2 + 4u}{(4u - 1)(u + 2)} = \frac{A}{4u - 1} + \frac{B}{u + 2}
$$
解得 $A = \frac{2}{3}$，$B = \frac{2}{3}$，于是：
$$
-\frac{2}{3}\left( \frac{1}{4u - 1} + \frac{1}{u + 2} \right) \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}X}{X}
$$
积分：
$$
-\frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} \ln|4u - 1| + \ln|u + 2| \right) = \ln|X| + C
$$
即：
$$
-\frac{1}{6} \ln|4u - 1| - \frac{2}{3} \ln|u + 2| = \ln|X| + C
$$
乘以6：
$$
-\ln|4u - 1| - 4\ln|u + 2| = 6\ln|X| + C_1
$$
即：
$$
\ln\left| \frac{1}{(4u - 1)(u + 2)^4} \right| = \ln|X^6| + C_1
$$
所以：
$$
\frac{1}{(4u - 1)(u + 2)^4} = C_2 X^6
$$
代回 $u = \frac{Y}{X}$，$Y = y - 1$，$X = x - 1$：
$$
\frac{1}{\left(4\frac{y-1}{x-1} - 1\right)\left(\frac{y-1}{x-1} + 2\right)^4} = C_2 (x-1)^6
$$
整理得通解：
$$
(x-1)^6 = C \cdot \frac{(x-1)^5}{(4(y-1)-(x-1))((y-1)+2(x-1))^4}
$$
更简洁形式：
$$
(4y - x - 3)(y + 2x - 3)^4 = C
$$

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（2）
方程：
$$
(x - y - 1) \mathrm{d}x + (4y + x - 1) \mathrm{d}y = 0
$$
即：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x - y - 1}{x + 4y - 1}
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
x - y - 1 = 0 \\
x + 4y - 1 = 0
\end{cases}
$$
相减得：
$$
-5y = 0 \Rightarrow y = 0,\quad x = 1
$$
令 $X = x - 1$，$Y = y$，则：
$$
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = -\frac{X - Y}{X + 4Y}
$$
令 $u = \frac{Y}{X}$：
$$
u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{1 - u}{1 + 4u}
$$
整理：
$$
X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{1 - u}{1 + 4u} - u = \frac{-1 + u - u - 4u^2}{1 + 4u} = -\frac{1 + 4u^2}{1 + 4u}
$$
分离：
$$
\frac{1 + 4u}{1 + 4u^2} \mathrm{d}u = -\frac{\mathrm{d}X}{X}
$$
积分：
$$
\int \frac{1}{1 + 4u^2} \mathrm{d}u + \int \frac{4u}{1 + 4u^2} \mathrm{d}u = -\ln|X| + C
$$
即：
$$
\frac{1}{2} \arctan(2u) + \frac{1}{2} \ln(1 + 4u^2) = -\ln|X| + C
$$
乘以2：
$$
\arctan(2u) + \ln(1 + 4u^2) = -2\ln|X| + C_1
$$
代回 $u = Y/X$，$Y = y$，$X = x - 1$：
$$
\arctan\left( \frac{2y}{x-1} \right) + \ln\left(1 + \frac{4y^2}{(x-1)^2}\right) = -2\ln|x-1| + C_1
$$
合并对数：
$$
\arctan\left( \frac{2y}{x-1} \right) + \ln\left( (x-1)^2 + 4y^2 \right) = C
$$
即为通解。

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（3）
方程：
$$
(3y - 7x + 7) \mathrm{d}x + (7y - 3x + 3) \mathrm{d}y = 0
$$
即：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{3y - 7x + 7}{7y - 3x + 3}
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
3y - 7x + 7 = 0 \\
7y - 3x + 3 = 0
\end{cases}
$$
解：第一式乘3，第二式乘7：
$$
9y - 21x + 21 = 0,\quad 49y - 21x + 21 = 0
$$
相减得：
$$
40y = 0 \Rightarrow y = 0,\quad x = 1
$$
令 $X = x - 1$，$Y = y$，则：
$$
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = -\frac{3Y - 7X}{7Y - 3X}
$$
令 $u = Y/X$：
$$
u + X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{3u - 7}{7u - 3}
$$
整理：
$$
X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X} = -\frac{3u - 7}{7u - 3} - u = \frac{-3u + 7 - 7u