第11章 多维空间

例 2 考察函数 “向第 \(i\) 个坐标轴投影”: \[ f\left( x\right) = f\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \mathrel{\text{ := }} {x}^{i}. \] 对于 \(a = \left( {{a}^{1},\cdots ,{a}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}\) ,显然有 \[ \left| {f\left( x\right) - {a}^{i}}\right| = \left| {{x}^{i} - {a}^{i}}\right| \leq \parallel x - a\parallel . \] 因而 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = {a}^{i}. \] 定理 1 设 \(D \subset {\mathbb{R}}^{m},a\) 是 \(D\) 的一个聚点, \(m\) 元函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(\check{U}\left( {a,\eta }\right) \cap D\) 有定义, \(A,B \in \mathbb{R}\) . 如果 \[ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}g\left( x\right) = B, \] 那么就有 (1) \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\left\lbrack {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right\rbrack = A + B\) ; (2) \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\left\lbrack {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right\rbrack = {AB}\) ； (3) \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \frac{A}{B}\left( {B \neq 0}\right)\) .

例 4 考察二元函数 \[ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . \] 试讨论 \(\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)\) 时这函数的极限状况.

例 5 考察二元函数 \[ f\left( {x,y}\right) = \frac{xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . \] 试讨论 \(\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)\) 时这函数的极限状况.

例 6 考察二元函数 \[ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}y}{{x}^{4} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . \] 试讨论 \(\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)\) 时这函数的极限状况.

例 1 考察定义于 \({\mathbb{R}}^{m}\) 上的函数 \[ {N}_{0}\left( x\right) = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , \] \[ {N}_{1}\left( x\right) = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , \] \[ {N}_{2}\left( x\right) = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, \] \[ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. \] 容易验证: \({N}_{0},{N}_{1}\) 和 \({N}_{2}\) 都是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 的范数. 今后,我们将分别用记号 \(\left| \cdot \right| ,\left| \cdot \right|\) 和 \(\begin{Vmatrix}\cdot \end{Vmatrix}\) 表示范数 \({N}_{0},{N}_{1}\) 和 \({N}_{2}\) . 这就是说,我们约定记: \[ \left| x\right| = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , \] \[ \left| \mathbf{x}\right| = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , \] \[ \parallel x\parallel = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, \] \[ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. \] 注记 在有的文献中, 采用这样的记号: \[ \parallel x{\parallel }_{\infty } = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , \] \[ \parallel x{\parallel }_{1} = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , \] \[ \parallel x{\parallel }_{2} = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, \] \[ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. \] 设 \(N\) 是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 的任何一个范数,则 \(N\) 在 \({\mathbb{R}}^{m}\) 中决定了一种距离 \[ {d}_{N}\left( {x,y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x,y \in {\mathbb{R}}^{m}. \] 按这距离又可以定义 \({\mathbb{R}}^{m}\) 中点列的收敛性和 \(m\) 元函数的连续性. 这样定义的收敛性和连续性称为按照范数 \(N\) 的 (或者说按照距离 \({d}_{N}\) 的)收敛性和连续性. 值得庆幸的是,对于 \({\mathbb{R}}^{m}\) 来说,用任何一种范数决定的收敛性 (以及函数的连续性), 都是完全一样的. 为说明这一点, 先要介绍等价范数的概念. 定义 2 设 \(M\) 和 \(N\) 都是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 的范数. 如果存在正实数 \(a\) 和 \(A\) ,使得 \[ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] 那么我们就说范数 \(N\) 与范数 \(M\) 等价. 注记 范数的等价是一种具有反身性, 对称性和传递性的关系: (1)显然有 \[ M\left( x\right) \leq M\left( x\right) \leq M\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] 因而 \(M\) 与 \(M\) 自身是等价的 (反身性). (2)如果范数 \(N\) 与范数 \(M\) 等价 \[ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] 那么显然有 \[ \frac{1}{A}N\left( x\right) \leq M\left( x\right) \leq \frac{1}{a}N\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] 即范数 \(M\) 也与范数 \(N\) 等价. 这说明范数的等价具有对称性. (3)如果范数 \(N\) 与范数 \(M\) 等价,范数 \(P\) 与范数 \(N\) 等价 \[ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] \[ {bN}\left( x\right) \leq P\left( x\right) \leq {BN}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] 那么 \[ \operatorname{baM}\left( x\right) \leq P\left( x\right) \leq {BAM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, \] 即范数 \(P\) 与范数 \(M\) 等价. 这说明范数的等价具有传递性. 按照数学中的惯例, 只有那些具有反身性, 对称性和传递性的关系, 才被冠以 “等价”这样的称呼. 定理 1 按照等价的范数 \(N\) 和 \(M\) 决定的收敛性 (及连续性) 是完全一样的.

例 4 设 \(X\) 是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 的非空闭子集. 用 \({\mathbb{R}}^{m}\) 的任何一种范数 \(N\) 在 \(X\) 上定义距离 \[ d\left( {x,y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x,y \in X. \] 这样得到的距离空间(X, d)也是完备的. 定义 12 设(X, d)是距离空间, \(\varphi : X \rightarrow X\) 是一个映射. 如果存在 \(\alpha \in \lbrack 0,1)\) ,使得 \[ d\left( {\varphi \left( x\right) ,\varphi \left( y\right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {x,y}\right) ,\;\forall x,y \in X, \] 那么我们就说 \(\varphi\) 是一个压缩映射. 注记 显然压缩映射都是连续映射. 设 \(X\) 是一个集合, \(\varphi : X \rightarrow X\) 是一个映射. 如果 \(\xi \in X\) 使得 \[ \varphi \left( \xi \right) = \xi , \] 那么我们就说 \(\xi\) 是映射 \(\varphi\) 的一个不动点. 下面的重要定理被称为压缩映射原理或者巴拿赫(Banach)不动点原理. 定理 5 完备距离空间(X, d)的压缩映射 \(\varphi\) 必定有唯一的不动点.

例 2 考察 \(\mathbb{R}\) 中的有界闭集 \[ K = \left\lbrack {-2, - 1}\right\rbrack \cup \left\lbrack {1,2}\right\rbrack \] 和定义于 \(K\) 上的函数 \[ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - 1, & x \in \left\lbrack {-2, - 1}\right\rbrack , \\ 1, & x \in \left\lbrack {1,2}\right\rbrack . \end{array}\right. \] 容易看出: \(f\) 在 \(K\) 上连续,但却不具有介值性质 (请读者自己验证). 要说明一个集合是否 “连成一片”, 有若干种方法. 我们这里只介绍其中最简单的一种一一路径连通. 设 \(T \subset \mathbb{R},E \subset {\mathbb{R}}^{m}\) ,则 \(T\) 和 \(E\) 都可以看成距离空间,因而可以讨论映射 \[ \varphi : T \rightarrow E \] 的连续性. 因为 \[ \mathop{\max }\limits_{{1 \leq j \leq m}}\left| {{\varphi }^{j}\left( t\right) - {\varphi }^{j}\left( {t}_{0}\right) }\right| \leq \begin{Vmatrix}{\varphi \left( t\right) - \varphi \left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} \] \[ \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\left| {{\varphi }^{j}\left( t\right) - {\varphi }^{j}\left( {t}_{0}\right) }\right| , \] 所以映射 \(\varphi \left( t\right) = \left( {{\varphi }^{1}\left( t\right) ,\cdots ,{\varphi }^{m}\left( t\right) }\right)\) 在 \({t}_{0}\) 连续的充要条件是: 它的各分量 \({\varphi }^{j}\left( t\right)\) 都在 \({t}_{0}\) 连续 \(\left( {j = 1,\cdots ,m}\right)\) . 定义 1 设 \(E \subset {\mathbb{R}}^{m},{x}_{0},{x}_{1} \in E\) ,并设 \[ \gamma : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow E \] 是一个连续映射, 满足条件 \[ \gamma \left( 0\right) = {x}_{0},\;\gamma \left( 1\right) = {x}_{1}, \] 则称 \(\gamma\) 为 \(E\) 中联结 \({x}_{0}\) 和 \({x}_{1}\) 的一条路径. 注记 “路径”的直观几何形象就是联结给定两点的一条连续曲线. 定义 2 设 \(E \subset {\mathbb{R}}^{m}\) . 如果对任何 \({x}_{0},{x}_{1} \in E\) ,都至少存在 \(E\) 中联结这两点的一条路径,那么我们就说 \(E\) 是路径连通的. 空集 \(\varnothing\) 也被认为是路径连通的. 定理 1 设 \(E\) 是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 中的路径连通子集,函数 \(f\) 在 \(E\) 上连续,则 \(f\) 具有介值性质.

例 2 开方块 \[ I = \left\{ {\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) {\mathbb{R}}^{m} \in \mid {a}^{i} < {x}^{i} < {b}^{i},i = 1,\cdots ,m}\right\} \] 是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 中的开集. 定理 3 设 \(\Omega\) 是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 中的开集, \[ f : \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{p} \] 是一个映射. 则 \(f\) 在 \(\Omega\) 连续的充要条件是: 对于 \({\mathbb{R}}^{p}\) 中的任何开集 \(H\) ,集合 \[ G = {f}^{-1}\left( H\right) \] 都是 \({\mathbb{R}}^{m}\) 中的开集.