第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分

例 1 设 \(S\) 是球面 \[ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}, \] 试计算 \(S\) 的面积 \(\sigma \left( S\right)\) .

例 2 试计算球面 \[ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2} \] 被围在柱面 \[ {x}^{2} + {y}^{2} = {ax} \] 之内的那一部分的面积.

例 3 试计算双曲抛物面 \(z = {xy}\) 被围在圆柱面 \({x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}\) 内的那一部分的面积.

例 4 问以下两积分相差多少: \[ I = {\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , \] \[ J = {\iint }_{P}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , \] 这里 \[ S = \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}}\right\} , \] \[ P = \{ \left( {x,y,z}\right) \left| \right| x\left| +\right| y\left| +\right| z \mid = a\} . \]

例 5 试计算积分 \[ K = {\iint }_{S}z\mathrm{\;d}\sigma \] 这里 \(S\) 是一段螺旋面: \[ \mathbf{r} = \left( {u\cos v,u\sin v,{bv}}\right) , \] \[ 0 \leq u \leq a,0 \leq v \leq {2\pi }. \]

例 6 试计算积分 \[ L = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma , \] 其中 \(S\) 是球面 \({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}\) .