第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分
1
📝 有解析
第1题
例 1 设 $S$ 是球面
$$
{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2},
$$ 试计算 $S$ 的面积 $\sigma \left( S\right)$ .
{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2},
$$ 试计算 $S$ 的面积 $\sigma \left( S\right)$ .
2
📝 有解析
第2题
例 2 试计算球面
$$
{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}
$$ 被围在柱面 $$
{x}^{2} + {y}^{2} = {ax}
$$ 之内的那一部分的面积.
{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}
$$ 被围在柱面 $$
{x}^{2} + {y}^{2} = {ax}
$$ 之内的那一部分的面积.
3
📝 有解析
第3题
例 3 试计算双曲抛物面 $z = {xy}$ 被围在圆柱面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}$ 内的那一部分的面积.
4
📝 有解析
第4题
例 4 问以下两积分相差多少:
$$
I = {\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma ,
$$ $$
J = {\iint }_{P}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma ,
$$ 这里 $$
S = \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}}\right\} ,
$$ $$
P = \{ \left( {x,y,z}\right) \left| \right| x\left| +\right| y\left| +\right| z \mid = a\} .
$$
I = {\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma ,
$$ $$
J = {\iint }_{P}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma ,
$$ 这里 $$
S = \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}}\right\} ,
$$ $$
P = \{ \left( {x,y,z}\right) \left| \right| x\left| +\right| y\left| +\right| z \mid = a\} .
$$
5
📝 有解析
第5题
例 5 试计算积分
$$
K = {\iint }_{S}z\mathrm{\;d}\sigma
$$ 这里 $S$ 是一段螺旋面: $$
\mathbf{r} = \left( {u\cos v,u\sin v,{bv}}\right) ,
$$ $$
0 \leq u \leq a,0 \leq v \leq {2\pi }.
$$
K = {\iint }_{S}z\mathrm{\;d}\sigma
$$ 这里 $S$ 是一段螺旋面: $$
\mathbf{r} = \left( {u\cos v,u\sin v,{bv}}\right) ,
$$ $$
0 \leq u \leq a,0 \leq v \leq {2\pi }.
$$
6
📝 有解析
第6题
例 6 试计算积分
$$
L = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma ,
$$ 其中 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ .
L = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma ,
$$ 其中 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ .