第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分

例 1 设质量为 \(m\) 的质点沿任意连续曲线 \(\gamma\) 从空间位置 \(A\) 移动到位置 \(B\) . 试计算重力对这质点做的功 \(W\) .

例 2 试计算 \[ I = \frac{1}{2}{\oint }_{C}x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x, \] \[ J = \frac{1}{2}{\oint }_{E}x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x, \] 这里 \(C\) 是 \({OXY}\) 平面上中心在原点半径为 \(a\) 的圆周, \(E\) 是以 \({OX}\) 轴和 \({OY}\) 轴为对称轴并且两半轴长度分别为 \(a\) 和 \(b\) 的椭圆周.

例 4 试计算 \[ M = {\oint }_{c}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, \] 这里 \(C\) 同上两例中所述.

例 5 试计算 \[ N = {\int }_{H}x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y + z\mathrm{\;d}z, \] 这里 \(H\) 是 \(k\) 圈螺旋线: \[ x = a\cos t,y = a\sin t,z = {bt}, \] \[ 0 \leq t \leq {2k\pi } \]

例 4 试计算积分 \[ I = \frac{1}{3}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, \] 这里 \(S\) 是球面 \({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}\) 的外侧.

例 4 试计算积分 \[ I = \frac{1}{3}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, \] 这里 \(S\) 是球面 \({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}\) 的外侧.

例 5 试计算与上例类似的积分 \[ J = \frac{1}{3}{\iint }_{\Gamma }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, \] 这里 \(\Gamma\) 是如下的长方体的表面,约定以外侧为正侧: \[ \left| x\right| \leq a,\;\left| y\right| \leq b,\;\left| z\right| \leq c. \]

例 6 试计算积分 \[ K = \frac{1}{3}{\iint }_{\Lambda }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, \] 这里 \(\Lambda\) 是以下椭球面的外侧: \[ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1 \]

例 9 试计算积分 \[ N = {\iint }_{\Lambda }{x}^{3}\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + {y}^{3}\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + {z}^{3}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, \] 这里 \(\Lambda\) 是以下椭球面的外侧: \[ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1. \]

例 10 设 \(\Delta\) 是以 \(\left( {1,0,0}\right) ,\left( {0,1,0}\right)\) 和(0,0,1)为顶点的三角形面的上侧, 试计算 \[ I = {\iint }_{\Delta }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, \] \[ J = {\iint }_{\Delta }{x}^{2}\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + {y}^{2}\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + {z}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y. \]

例 1 设 \(\Omega\) 是 \({\mathbb{R}}^{2}\) 中由一条或几条分段连续可微曲线围成的闭 区域. 试说明 \(\Omega\) 的面积 \(\sigma \left( \Omega \right)\) 可按以下各式计算: \[ \sigma \left( \Omega \right) = {\oint }_{\mathrm{a}\Omega }x\mathrm{\;d}y = - {\oint }_{\mathrm{a}\Omega }y\mathrm{\;d}x \] \[ = \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x. \]

例 3 试用例 2 中的公式计算椭圆面积.

例 4 星形线的参数方程为 \[ x = a{\cos }^{3}t,\;y = a{\sin }^{3}t,\;0 \leq t \leq {2\pi }. \] 试求由星形线所围成的平面图形 \(\Omega\) 的面积 (参看图 16-11). \begin{center} <img src=\"/static/img/math_analysis/092.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\"> \end{center} \hspace*{3em} 图 16-11

例 5 试计算 \[ {W}_{C} = {\oint }_{C}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, \] \[ {W}_{E} = {\oint }_{E}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, \] \[ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, \] 这里 \(C\) 是圆周 \({x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2},E\) 是椭圆周 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1,\Gamma\) 是环绕原点的任意连续可微的简单闭曲线——这些曲线都根据它们所围的有界区域来诱导定向.

例 6 试计算积分 \[ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, \] 这里 \(\Gamma\) 是不围绕原点的连续可微简单闭曲线,并且依据它所围的有界区域诱导定向.

例 7 设 \(\Omega\) 满足定理 2 中的条件,试说明 \(\Omega\) 的体积可按以下任一式计算: \[ V\left( \Omega \right) = {\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z = {\oiint }_{\partial \Omega }y\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x \] \[ = {\oiint }_{\partial \Omega }z\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y \] \[ = \frac{1}{3}{\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y. \]

例 1 设有微分形式 \[ \omega = f\mathrm{\;d}x + g\mathrm{\;d}y + h\mathrm{\;d}z, \] \[ \theta = P\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z + Q\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x + R\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y, \] 试计算 \(\omega \land \theta\) .

例 2 设有微分形式 \[ \omega = a\mathrm{\;d}x + b\mathrm{\;d}y + c\mathrm{\;d}z, \] \[ \theta = A\mathrm{\;d}x + B\mathrm{\;d}y + C\mathrm{\;d}z, \] 试计算 \(\omega \land \theta\) .

例 3 考察 \({\mathbb{R}}^{n}\) 中的 \(n\) 个 1 次形式 \[ {\omega }^{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}^{j}\left( x\right) \mathrm{d}{x}^{i},\;j = 1,2,\cdots ,n. \] 试证明 \[ {\omega }^{1} \land \cdots \land {\omega }^{n} = \det \left( {{a}_{i}^{j}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. \]

例 4 设 \({f}^{j}\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) ,j = 1,2,\cdots ,n\) ,是数值函数,则有 \[ \mathrm{d}{f}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{f}^{n} = \frac{\partial \left( {{f}^{1},\cdots ,{f}^{n}}\right) }{\partial \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{n}}\right) }\mathrm{d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. \]

例 2 在力学或电学中, 常常需要考察与距离平方成反比的中心力场 (例如万有引力场或电场). 这样的力场可以表示为 \[ \mathbf{F}\left( {x,y,z}\right) = - q\frac{\mathbf{r}}{{r}^{3}}, \] 这里 \[ r = \parallel \mathbf{r}\parallel = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}. \] 设有单位质量的质点或单位电量的点电荷沿路径 \(\Gamma\) 移动,则力场 \(\mathbf{F}\) 对它所做的功可以表示为以下的第二型曲线积分 \[ {\int }_{\Gamma }\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = - q{\int }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y + z\mathrm{\;d}z}{{r}^{3}}. \] 因为微分式 \[ - q\frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y + z\mathrm{\;d}z}{{r}^{3}} \] 有原函数 \[ U\left( {x,y,z}\right) = \frac{q}{r}, \] 所以在这样的力场中, 功与路径无关. 对于一类比较简单的区域——星形区域, 曲线积分与路径无关的条件很容易讨论. 下面,先介绍 \({\mathbb{R}}^{3}\) 中星形区域的定义. 定义 2 设 \(D\) 是 \({\mathbb{R}}^{3}\) 中的一个区域. 若存在 \(D\) 中一点 \(A\) ,使得对于任何 \(M \in D\) ,直线段 \(\overline{AM}\) 均完全包含在 \(D\) 中,则称 \(D\) 是关于 \(A\) 点为星形的区域, 简称星形区域. 定理 4 设 \(D\) 是 \({\mathbb{R}}^{3}\) 中的星形区域,函数 \(P\left( {x,y,z}\right) ,Q\left( {x,y,z}\right)\) 和 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(D\) 中连续可微,则以下三项陈述相互等价: (1)第二型曲线积分 \[ \int P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z \] 在 \(D\) 中与路径无关; (2)微分式 \(P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z\) 在区域 \(D\) 中有原函数 \(U(x,y\) , \(z)\) ,即 \[ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = \mathrm{d}U; \] (3)在 \(D\) 中有 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y},\;\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}. \]

例 3 (a) 开球体是单连通的. (b) 开球体内部抠了一个球形小空洞之后, 剩下的部分仍然是单连通的. (c) 开球体上打了一个贯通的圆柱形孔洞之后, 剩下的像一粒穿了孔的珠子那样的区域就不再是单连通的了. 下面的定理讨论空间单连通区域里第二型曲线积分与路径无关的条件. 定理 5 设 \(G\) 是 \({\mathbb{R}}^{3}\) 中的单连通区域, \(P\left( {x,y,z}\right) ,Q\left( {x,y,z}\right)\) 和 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 是在 \(G\) 中连续可微的函数,则以下四项陈述相互等价: (1)沿 \(G\) 中任何一条分段连续可微的闭曲线 \(\gamma\) 都有 \[ {\oint }_{\gamma }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = 0; \] (2)沿 \(G\) 中任何两条有共同起点和共同终点的分段连续可微曲线 \(\eta\) 和 \(\zeta\) 有 \[ {\int }_{\eta }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = {\int }_{\xi }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z, \] 即曲线积分 \[ \int P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z \] 在 \(G\) 中与路径无关; (3)微分式 \(P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z\) 在 \(G\) 中有原函数,即存在定义于 \(G\) 上的连续可微函数 \(U\left( {x,y,z}\right)\) ,使得 \[ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = \mathrm{d}U; \] (4) 在 \(G\) 中有 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y},\;\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}\;\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}. \] 我们将省略一些细节, 概要地介绍这定理的证明.

例 1 求解方程 \[ {\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}x + \left( {x{\mathrm{e}}^{y} + {2y}}\right) \mathrm{d}y = 0. \]

例 2 求解方程 \[ \left( {{7x} + {3y}}\right) \mathrm{d}x + \left( {{3x} - {5y}}\right) \mathrm{d}y = 0. \]

例 5 设 \(M\left( {x,y}\right)\) 和 \(N\left( {x,y}\right)\) 都是 \(k\) 次齐次函数,则微分方程 \[ M\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0 \] 具有积分因子 \[ \mu = \frac{1}{{xM} + {yN}}, \] 这里设 \({xM} + {yN} \neq 0\) .

例 6 求解方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{2xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}. \]

例 7 求解方程 \[ \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - y}\right) \mathrm{d}x + x\mathrm{\;d}y = 0. \]

例 8 求解方程 \[ y\mathrm{\;d}x + x\left( {1 + {x}^{2}{y}^{2}}\right) \mathrm{d}y = 0. \]

例 9 求以 \({OX}\) 轴为旋转轴的旋转面,使得这样的镜面把放在原点的光源所发出的光反射成平行于 \({OX}\) 轴的光束. \begin{center} <img src=\"/static/img/math_analysis/102.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\"> \end{center} \hspace*{3em} 图 16-21