第18章 数项级数

例 1 设 \(r > 0\) . 试考察等比级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n - 1} \] 的敛散性.

例 2 试考察级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } \]

例 1 考察级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}} \] 的敛散性.

例 2 考察级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) 是否收敛.

例 3 设 \(x \in \left( {0,\pi }\right)\) ,试考察级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{x}{{n}^{2}} \] 是否收敛.

例 4 判别以下级数是否收敛: \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{\sqrt{{4n} - 3}} \]

例 5 设 \(x \in \left( {0,\pi }\right)\) . 试判别以下级数是否收敛: (a) \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \cos \frac{x}{n}}\right)\) ; (b) \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}}}\) .

例 6 用定义验证, 很容易看出: 级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {\ln \left( {n + 1}\right) - \ln n}\right) \] 是发散的. 事实上, 我们有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\ln \left( {N + 1}\right) = + \infty . \] 用级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right)\) 与级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}\) 做比较,我们断定后一级数是发散的: \[ \lim \frac{\frac{1}{n}}{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) } = 1 > 0. \] 再以级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}\) 与级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}\) 做比较,我们又断定级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}\) 是发散的: \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 > 0. \] 我们知道,对正项的等比级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}\) ,当 \(r < 1\) 时是收敛的,当 \(r\) \(\geq 1\) 时是发散的. 在定理 1 中把比较的标准取成等比级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}\) ,就 得到以下的柯西根式判别法. 柯西根式判别法 (普通形式) 设 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}\) 是正项级数. (1)如果存在 \(r < 1\) 和 \(N \in \mathbb{N}\) ,使得 \[ \sqrt[n]{{a}_{n}} < r,\;\forall n \geq N, \] 那么级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}\) 收敛; (2)如果对无穷多个 \(n\) 有 \[ \sqrt[n]{{a}_{n}} \geq 1 \] 那么级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}\) 发散.

证明(1)如果广义积分 (2.2) 收敛, 那么级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\left( {F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) }\right) \] 也收敛. 因为 \[ f\left( n\right) \leq {\int }_{n - 1}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) , \] \[ n = 2,3,\cdots , \] 所以级数 (2.1) 也收敛. (2)如果广义积分(2.2)发散,那么级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) }\right) \] 发散. 因为 \[ f\left( n\right) \geq {\int }_{n}^{n + 1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) , \] 所以级数 (2.1) 也发散. 借助于面积大小的比较, 可以作出柯西积分判别法的一个明晰的几何解释. 在图 18-1 中, 画阴影的那些矩形条的面积之和等于 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right)\) ,较大的那些矩形条的面积之和等于 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) \] \begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/103.jpg} \end{center} \hspace*{3em} 图 18-1 将上述两个和数所表示的面积与积分 \[ {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x \] 所表示的面积做比较, 我们得到 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right) \leq {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) . \] 由此得知: 级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}f\left( n\right) \] 与积分 \[ {\int }_{1}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x \] 有相同的敛散性质. 利用柯西积分判别法, 很容易判断以下这些级数是否收敛: (1) \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}\) ; (2) \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}\) ; (3) \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}},\cdots\) . 具体讨论如下: (1) 与积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}}\) 比较,我们断定: 当 \(p > 1\) 时,级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}\) 收敛; 而当 \(p \leq 1\) 时,级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}\) 发散. (2)与积分 \(\displaystyle{\int }_{2}^{+\infty }\frac{1}{x{\left( \ln x\right) }^{p}}\) 比较,我们断定:当 \(p > 1\) 时,级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}} \] 收敛；而当 \(p \leq 1\) 时,级数发散. (3)与积分 \[ {\int }_{3}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x{\left( \ln \ln x\right) }^{p}} \] 比较,我们断定:当 \(p > 1\) 时,级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}} \] 收敛；而当 \(p \leq 1\) 时,级数发散. 采用大写 \(O\) 记号,还可以陈述以下很方便的判别法则: 如果正项级数 \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} \] 满足条件 \[ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{{n}^{p}}\right) ,\;p > 1, \] 或者 \[ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, \] 或者 \[ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, \] 那么这级数收敛.

例 8 高斯超几何级数定义为 \[ 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\alpha + n - 1}\right) \cdot \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\gamma + n - 1}\right) }{x}^{n}. \] 设 \(\alpha ,\beta ,\gamma ,x > 0\) ,试考察该级数的敛散情况.

例 1 考察这样一个级数: \[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k - 1}\frac{1}{k} \tag{4.1} \] 试说明 (1)由级数 (4.1) 各项的绝对值做成的级数是发散级数； (2)级数 (4.1) 是收敛的

例 2 设 \(\displaystyle{\sum {a}_{n}}\) 是任意项级数,并设 \[ \overline{\lim }\sqrt[n]{\left| {a}_{n}\right| } = q, \] 则有: (1)如果 \(q < 1\) ,那么级数 \(\displaystyle{\sum {a}_{n}}\) 绝对收敛； (2)如果 \(q > 1\) ,那么级数 \(\displaystyle{\sum {a}_{n}}\) 发散.

例 3 设级数 \(\displaystyle{\sum {a}_{n}}\) 的各项都不等于 0 (可以放宽到: 至多有限项为 0 ),则有: (1)如果 \[ \overline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| < 1, \] 那么级数 \(\displaystyle{\sum {a}_{n}}\) 绝对收敛; (2)如果 \[ \underline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| > 1 \] 那么级数 \(\displaystyle{\sum {a}_{n}}\) 发散.

例 4 (关于交错级数的莱布尼茨判别法) 设序列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 单调下降趋于 0,则以下级数收敛: \[ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n - 1}{a}_{n} \]

例 6 设级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}\) 收敛, \(\alpha \geq 0\) . 求证: (1) 级数 \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{b}_{n}}{{n}^{a}}}\) 收敛; (2) 级数 \(\displaystyle{\sum \frac{{n}^{a}}{{n}^{a} + 1}{b}_{n}}\) 收敛.

例 8 设 \(\displaystyle{\sum {b}_{k}}\) 是收敛级数,求证 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} = 0 \]