第2章 极 限

例 8 设 \(a \in \mathbb{R},\left| a\right| > 1\) ,则 \[ {t}_{n} = \frac{n}{{a}^{n}},\;n = 1,2,\cdots \] 是无穷小序列. 事实上,对于 \(n \geq 2\) ,我们有 \[ \left| \frac{n}{{a}^{n}}\right| = \frac{n}{{\left| a\right| }^{n}} = \frac{n}{{\left( 1 + \left( \left| a\right| - 1\right) \right) }^{n}} \] \[ < \frac{n}{\frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}{\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} \] \[ = \frac{2}{\left( {n - 1}\right) {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}}. \] 要使 \[ \frac{2}{\left( {n - 1}\right) {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} < \varepsilon , \] 只需 \[ n > \frac{2}{\varepsilon {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} + 1. \] 我们可以取大于 \(\frac{2}{\varepsilon {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} + 1\) 的任意自然数作为 \(N\) ,例如可取 \(N = \left\lbrack \frac{2}{\varepsilon {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}}\right\rbrack + 2\) . 对这样选取的 \(N \in \mathbb{N}\) ,只要 \(n > N\) ,就有 \[ \left| {t}_{n}\right| < \frac{2}{\left( {n - 1}\right) {\left( \left| a\right| - 1\right) }^{2}} < \varepsilon . \] 在上面各例中,我们采取逐步倒推的方式,从任意给定的 \(\varepsilon\) 出发,寻找无穷小序列定义所要求的 \(N\) . 因为只需要指出这样的 \(N\) 存在, 所以在倒推的过程中, 允许适当地放宽不等式, 以简化我们的讨论. 这种放宽不等式的办法, 可以概括为以下简单的引理: 引理 设 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 和 \(\left\{ {\beta }_{n}\right\}\) 是实数序列,并设存在 \({N}_{0} \in \mathbb{N}\) ,使得 \[ \left| {\alpha }_{n}\right| \leq {\beta }_{n},\;\forall n > {N}_{0}. \] 如果 \(\left\{ {\beta }_{n}\right\}\) 是无穷小序列,那么 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 也是无穷小序列.

例 9 考察序列 \[ {\alpha }_{n} = \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \cdots + \frac{1}{{\left( 2n\right) }^{2}},\;n = 1,2,\cdots . \] 因为 \[ 0 \leq {\alpha }_{n} \leq \underset{n\text{ 项 }}{\underbrace{\frac{1}{{n}^{2}} + \cdots + \frac{1}{{n}^{2}}}} = \frac{1}{n}, \] 所以 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 是无穷小序列. 1. c 有界序列与无穷小序列的性质 引理 如果 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 是无穷小序列,那么它也是有界序列.

例 12 设 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 是无穷小序列,记 \[ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots , \] 则 \(\left\{ {\beta }_{n}\right\}\) 也是无穷小序列. 换句话说,以无穷小序列前 \(n\) 项的算术平均数作为通项的序列, 也是一个无穷小序列.

例 13 设 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 是无穷小序列,并且 \[ {\alpha }_{n} \geq 0,\;\forall n \in \mathbb{N}. \] 我们记 \[ {\gamma }_{n} = \sqrt[n]{{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n}},\;n = 1,2,\cdots , \] 则 \(\left\{ {\gamma }_{n}\right\}\) 也是无穷小序列.

例 1 求证 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + 1}}\frac{n}{n + 1} = 1}\) .

例 2 求证 \(\displaystyle{\lim \frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} = \frac{1}{3}}\) .

例 3 设 \(a > 1\) ,求证 \(\displaystyle{\lim \sqrt[n]{a} = 1}\) .

例 4 求证 \(\displaystyle{\lim \sqrt[n]{n} = 1}\) .

例 5 求证 \(\displaystyle \lim \left( {\sqrt{{n}^{2} + n} - n}\right) = 1/2\) .

例 6 已知 \(\displaystyle{\lim {x}_{n} = a}\) ,求证 \[ \lim \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n} = a. \]

例 7 求证对于 \(0 < b \leq 1\) ,也有 \[ \lim \sqrt[n]{b} = 1\text{ . } \]

例 8 求 \(\displaystyle{\lim \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}}}\) ,这里 \(c \geq 0\) .

例 9 求极限 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{q}^{k - 1}\;\left( {\left| q\right| < 1}\right) \]

例 10 设 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 是实数序列, \({a}_{n} > 0\left( {\forall n}\right) ,\lim {a}_{n} = A > 0\) . 求证 \[ \lim \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} = A\text{ . } \]

例 11 设 \(\displaystyle{\lim {x}_{n} = a,\lim {y}_{n} = b}\) . 若记 \[ {u}_{n} = \frac{{x}_{1}{y}_{n} + {x}_{2}{y}_{n - 1} + \cdots + {x}_{n}{y}_{1}}{n},\;n = 1,2,\cdots , \] 则有 \[ \lim {u}_{n} = {ab}. \]

例 12 设 \(\displaystyle{\lim {x}_{n} = a}\) . 求证 \[ \lim \frac{{x}_{1} + 2{x}_{2} + \cdots + n{x}_{n}}{{n}^{2}} = \frac{a}{2}. \]

例 13 设给定自然数 \(k \geq 2\) . 试对充分大的 \(n\) 判别以下三式的大小顺序: \[ {n}^{k},\;{k}^{n},\;n! \]

例 14 设 \(A > 0,a \neq 0\) . 问当 \(n\) 充分大的时候 \[ A{n}^{2} + {Bn} + C\text{ 与 }\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C} \] 各有怎样的符号?

例 1 设 \(a > 0\) ,求极限 \(\displaystyle{\lim \frac{{a}^{n}}{n!}}\) .

例 2 设 \({x}_{1} = \sqrt{2},{x}_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}},\cdots ,{x}_{n} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}}(n\) 重根号),... 试求 \(\displaystyle{\lim {x}_{n}}\) .

例 3 设 \(a > 0,{x}_{0} > 0\) . 序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 由以下递推公式定义: \[ {x}_{n} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n - 1} + \frac{a}{{x}_{n - 1}}}\right) ,\;n = 1,2,\cdots . \] 试证 \[ \lim {x}_{n} = \sqrt{a}. \]

例 7 设 \(q \in \mathbb{R},\left| q\right| < 1\) , \[ {x}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{q}^{k - 1} = 1 + q + \cdots + {q}^{n - 1} \] \[ \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{ . } \] 试证序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 收敛.

证明 我们有 \[ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| = \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \cdots + \frac{1}{{\left( n + p\right) }^{2}} \] \[ < \frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } + \cdots + \frac{1}{\left( {n + p - 1}\right) \left( {n + p}\right) } \] \[ = \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}\right) + \cdots + \left( {\frac{1}{n + p - 1} - \frac{1}{n + p}}\right) \] \[ = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + p} < \frac{1}{n}. \] 对任意 \(\varepsilon > 0\) ,可取 \(N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1\) ,则对任意的 \(n > N\) 和 \(p \in \mathbb{N}\) 都有 \[ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| < 1/n < \varepsilon . \]

例 12 中,曾经讨论过如下形状的序列变换 (算术平均变换): \[ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots . \] 在那里,我们证明了: 如果 \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 是无穷小序列,那么 \(\left\{ {\beta }_{n}\right\}\) 也是无穷小序列. 下面, 我们讨论更一般的一种序列变换. 定义 设给定了一个由非负实数排成的无穷三角形数表 (无穷三角阵) \begin{center} <img src=\"/static/img/math_analysis/006.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\"> \end{center} \hspace*{3em} 如果这数表满足条件 (1) \(\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk} = 1,\;\forall n \in \mathbb{N}}\) , (2)对任意给定的 \(k\) 都有 \[ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{t}_{nk} = 0 \] 那么我们就把这样的数表 \(\left\{ {t}_{nk}\right\}\) 叫作特普利茨 (Toeplitz) 数表或者特普利茨矩阵, 并把序列变换 \[ {\beta }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k},\;n = 1,2,\cdots \] 叫作特普利茨变换. 前面提到的算术平均变换是特普利茨变换的一种特殊情形, 它所对应的特普利茨数表是 \[ {t}_{nk} = 1/n, \] \[ n = 1,2,\cdots ,\;k = 1,2,\cdots ,n. \] 引理 1 设 \(\left\{ {t}_{nk}\right\}\) 是任意一个特普利茨数表, \(\left\{ {\alpha }_{n}\right\}\) 是任意一个无穷小序列, 并设 \[ {\beta }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k},\;n = 1,2,\cdots , \] 则有 \[ \lim {\beta }_{n} = 0\text{ . } \]

例 8 考察极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\sin x}{x}}\) . 我们有 \[ \left| \frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{\left| x\right| },\;\forall x \neq 0. \] 对任何满足条件 \(\displaystyle{x}_{n} \neq 0,{x}_{n} \rightarrow \infty}\) 的序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) ,都有 \[ \lim \frac{\sin {x}_{n}}{{x}_{n}} = 0, \] 所以 \[ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\sin x}{x} = 0. \] 利用关于序列极限已有的结果, 可以轻而易举地证明关于函数极限的一些相应的结果. 定理 1 函数极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right)\) 是唯一的.

例 10 求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}}\) .

例 11 求 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin \left( {\sin x}\right) }{\sin x}\) .

例 12 求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}}\) 和 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\tan x - \sin x}{x}}\) .

例 13 设 \(a \in \mathbb{R},a > 0\) . 试用 \(\varepsilon - \delta\) 定义证明 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\sqrt{x} = \sqrt{a}}\) .

例 14 试用 \(\varepsilon - \delta\) 式定义证明 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{x} = 1}\) .