第7章 微分方程初步

例 1 设跳伞员受到与速度大小成正比的空气阻力, 我们来考察他的下降速度 \(v\) 的变化规律. 根据牛顿第二定律,我们得到运动方程 \[ m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} = {mg} - {kv}, \] 即 \[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \frac{k}{m}v = g. \] 用 \({\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}\) 乘方程两边得 \[ {\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \frac{k}{m}{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v = g{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}, \] \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v}\right) = g{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t} \] \[ {\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v = \frac{mg}{k}{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t} + C, \] \[ v = \frac{mg}{k} + C{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t} \] 如果在时刻 \(t = 0\) 跳伞员的初始速度为 0,那么就应有 \[ 0 = \frac{mg}{k} + C, \] \[ C = - \frac{mg}{k}. \] 跳伞员的下降速度的变化规律为 \[ v = \frac{mg}{k}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}}\right) . \] 我们看到, 与自由落体的运动不同, 跳伞员的速度不会无限增大, 而是逐渐趋于一个终极速度 \({mg}/k\) . 自然界有一些量, 它的减少速度正比于该量本身的数值. 这样的量 \(x\) 应满足以下的微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - {kx}, \] 即 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} + {kx} = 0. \]

例 3 放射性物质衰变的速度 \(- \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{\;d}t}\) 正比于该物质的质量 \(m\) ,即 \[ \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{\;d}t} = - {km}. \]

例 5(气压公式)我们来考察大气压强随海拔高度的变化. 首先,依据物理学中的玻意耳-马略特定律,在温度不变的条件下,一定质量气体的体积与压强成反比: \[ {pV} = c\text{ (常数). } \] 由此得知,气体的比重 \(\rho\) 应与压强 \(p\) 成正比 \[ \rho = {kp}. \] 其次,我们来考察高度 \(h\) 到高度 \(h + {\Delta h}\) 之间的一个薄柱体 (设柱体的底面积为 \(\sigma\) ). 这柱体中气体的重量应该为柱体下底与上底所受大气压力之差所平衡,因而有 \[ p\left( h\right) \sigma - p\left( {h + {\Delta h}}\right) \sigma = {\rho \sigma \Delta h}, \] 也就是 \[ {\Delta p} = - {\rho \Delta h}. \] 这式两边除以 \({\Delta h}\) 并且过渡到极限就得到 \[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}h} = - \rho . \] 再利用比重 \(\rho\) 与压强 \(p\) 成正比的事实,我们得到微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}h} = - {kp}. \]