第8章 利用导数研究函数

例 1 求极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{x - \sin x}{{x}^{3}}}\) .

例 2 求极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{\mathrm{e}}^{x}},k \in {\mathbb{N}}^{\left( 1\right) }\) .

例 3 求极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{\alpha }}\left( {\alpha > 0}\right)\) .

例 4 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(a\) 点有二阶导数 \({f}^{\prime \prime }\left( a\right)\) ,试证 \[ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {a + h}\right) + f\left( {a - h}\right) - {2f}\left( a\right) }{{h}^{2}} = {f}^{\prime \prime }\left( a\right) . \]

例 5 考察分段表示的函数 \[ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}, & \text{ 如果 }x > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x \leq 0. \end{array}\right. \] 试证 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可导任意多次.

例 6 求极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {\frac{1}{{x}^{2}} - {\cot }^{2}x}\right)\) .

例 7 我们把 \[ {M}_{t}\left( x\right) = {\left( \frac{{x}_{1}^{t} + {x}_{2}^{t} + \cdots + {x}_{n}^{t}}{n}\right) }^{\frac{1}{t}} \] 称为 \(n\) 个正数 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的 \(t\) 次方平均数,并记 \[ G\left( x\right) = \sqrt[n]{{x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}}, \] \[ M = \max \left\{ {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right\} , \] \[ m = \min \left\{ {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right\} . \] 试证 (1) \(\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}{M}_{t}\left( x\right) = G\left( x\right)\) ; (2) \(\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}{M}_{t}\left( x\right) = M\) ; (3) \(\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow - \infty }}{M}_{t}\left( x\right) = m\) .

例 1 试求 \(f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\) 的麦克劳林公式.

例 2 求函数 \(f\left( x\right) = \sin x\) 和 \(g\left( x\right) = \cos x\) 的麦克劳林公式.

例 3 求函数 \(f\left( x\right) = \ln \left( {1 + x}\right)\) 的麦克劳林公式.

例 4 求函数 \(f\left( x\right) = {\left( 1 + x\right) }^{a}\) 的麦克劳林公式.

例 5 求函数 \(f\left( x\right) = \arctan x\) 的麦克劳林公式.

例 6 求函数 \(f\left( x\right) = \arcsin x\) 的麦克劳林公式.

例 7 在原点邻近,试将函数 \(f\left( x\right) = \tan x\) 展开到 4 阶项.

例 8 试将函数 \(f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{\cos x}\) 在原点展开到 4 阶项.

例 9 求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x - \arctan x}{\tan x - \arcsin x}}\) .

例 10 求 \(\displaystyle \lim {n}^{2}\left( {1 - n\sin \frac{1}{n}}\right)\) .

例 11 求 \(K = \lim \frac{{\mathrm{e}}^{n}}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{{n}^{2}}}\) .

例 13 试证 \(\mathrm{e}\) 是无理数.

例 1 对于 \(x \geq 0\) ,我们有不等式 \[ \frac{x}{1 + x} \leq \ln \left( {1 + x}\right) \leq x, \] 等号仅当 \(x = 0\) 时成立.

例 2 求证: \({\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x,\forall x \in \mathbb{R}\) ,等号仅当 \(x = 0\) 时成立.

例 3 (推广的伯努利不等式) 对于 \(\alpha > 1,x > - 1\) ,我们有 \[ {\left( 1 + x\right) }^{a} \geq 1 + {\alpha x}, \] 等号仅当 \(x = 0\) 时成立.

例 4 求证 \[ \frac{\sin x}{x} \geq \frac{2}{\pi },\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . \]

例 5 求证: \({\mathrm{e}}^{x} \leq \frac{1}{1 - x},\forall x < 1\) .

例 7 设 \(p,q > 0,\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) . 试证 \[ {x}^{\frac{1}{p}}{y}^{\frac{1}{q}} \leq \frac{1}{p}x + \frac{1}{q}y,\;\forall x,y \geq 0, \] 等号仅当 \(x = y\) 时成立.

例 1 求曲线 \[ y = \frac{{x}^{2}}{1 + x} \] 的渐近线 (参看图 8-4).

例 2 求曲线 \(y = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\) 的渐近线.

例 3 作函数 \(y = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\) 的图形.

例 4 作函数 \(y = \frac{2x}{1 + {x}^{2}}\) 的图形.

例 5 作函数 \(y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}\) 的图形.

例 6 作函数 \(y = \frac{{x}^{3}}{{x}^{2} - 1}\) 的图形.

例 1 设 \(a > 0\) . 试写出用牛顿法求算术平方根 \(\sqrt{a}\) 的迭代公式.

例 2 试用牛顿法解方程 \[ x\ln x - 1 = 0. \]