新讲 第6章 定积分 第5题
📝 题目
例 5 设正劈锥体的底是半径为 $R$ 的圆面,顶棱是平行于底圆直径的线段,高为 $H$ ,试求该正劈锥体的体积 (图 6-6).
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图 6-6
💡 答案解析
解 设该正劈锥体的底为
$$
{x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2},\;z = 0,
$$
顶棱为
$$
- R \leq x \leq R,\;y = 0,\;z = H.
$$
过 ${OX}$ 轴上一点 $x$ 并垂直于该轴的平面截正劈锥体得一等腰三角形, 该等腰三角形的面积为
$$
S\left( x\right) = H \cdot y = H\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}.
$$
于是, 我们求得正劈锥体的体积
$$
V = {\int }_{-R}^{R}H\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {2H}{\int }_{0}^{R}\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
$$
$$
= {2H}{R}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t
$$
$$
= H{R}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( {1 + \cos {2t}}\right) \mathrm{d}t
$$
$$
= \frac{\pi {R}^{2}H}{2}\text{ . }
$$