新讲 第13章 重积分 第2题
📝 题目
例 2 考察 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的圆柱 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2}$ 和 ${x}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2}$ ,试求这两
个圆柱相交部分的体积 $V$ (参看图 13-7).
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<img src=\"/static/img/math_analysis/060.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
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图 13-6
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<img src=\"/static/img/math_analysis/061.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
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图 13-7
💡 答案解析
解 由于对称性, 只需求出第一卦限内的部分体积再乘以 8 :
$$
V = 8{\iiint }_{E}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) ,
$$
这里
$$
E = \left\{ {\left. \left( {x,y,z}\right) \right| \;\begin{matrix} x,y,z \geq 0, \\ {x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2},{x}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2} \end{matrix}}\right\}
$$
$$
= \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid \left( {x,y}\right) \in D,0 \leq z \leq \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\right\} ,
$$
$$
D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid x,y \geq 0,{x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2}}\right\} .
$$
于是
$$
V = 8{\iint }_{D}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) {\int }_{0}^{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}z
$$
$$
= 8{\iint }_{D}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)
$$
$$
= 8{\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}y
$$
$$
= 8{\int }_{0}^{a}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = \frac{16}{3}{a}^{3}.
$$
另一种计算方案为
$$
V = 8{\iiint }_{E}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) = 8{\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\iint }_{{E}_{x}}\mathrm{\;d}\left( {y,z}\right) ,
$$
这里 ${E}_{x}$ 是一个正方形:
$$
{E}_{x} = \left\{ {\left( {y,z}\right) \left| {\;\begin{array}{l} 0 \leq y \leq \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}} \\ 0 \leq z \leq \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}} \end{array}}\right. }\right\} .
$$
用这方案计算同样得到
$$
V = 8{\int }_{0}^{a}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = \frac{16}{3}{a}^{3}.
$$