新讲 第13章 重积分 第4题
📝 题目
例 4 试计算积分
$$
I = {\iiint }_{E}\left( {\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) ,
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这里 $E$ 是椭球体
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\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} \leq 1.
$$
💡 答案解析
解 把积分拆成三项, 分别化为累次积分:
$$
I = {\int }_{-a}^{a}\mathrm{\;d}x\left( {\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}{\iint }_{{E}_{x}}\mathrm{\;d}\left( {y,z}\right) }\right) + {\int }_{-b}^{b}\mathrm{\;d}y\left( {\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}{\iint }_{{E}_{y}}\mathrm{\;d}\left( {x,z}\right) }\right)
$$
$$
+ {\int }_{-c}^{c}\mathrm{\;d}z\left( {\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}{\iint }_{{E}_{z}}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) }\right) .
$$
截口 ${E}_{x}$ 是一个椭圆面,它的两轴长分别为
$$
b\sqrt{1 - \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}\text{ 和 }c\sqrt{1 - \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}.
$$
于是, ${E}_{x}$ 的面积等于
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{\pi bc}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}\right) .
$$
对截口 ${E}_{y}$ 和 ${E}_{z}$ 也可作类似的讨论. 于是,我们求得
$$
I = \frac{\pi bc}{{a}^{2}}{\int }_{-a}^{a}{x}^{2}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}\right) \mathrm{d}x + \frac{\pi ac}{{b}^{2}}{\int }_{-b}^{b}{y}^{2}\left( {1 - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}\right) \mathrm{d}y
$$
$$
+ \frac{\pi ab}{{c}^{2}}{\int }_{-c}^{c}{z}^{2}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}}\right) \mathrm{d}z
$$
$$
= \frac{4}{5}{\pi abc}.
$$