新讲 第13章 重积分 第14题

教材习题

📝 题目

例 14 试计算

$$
I = {\iiint }_{D}\left( {x + y - z}\right) \left( {-x + y + z}\right) \left( {x - y + z}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) ,
$$

这里的 $D$ 是闭区域

$$
0 \leq x + y - z \leq 1,
$$

$$
0 \leq - x + y + z \leq 1,
$$

$$
0 \leq x - y + z \leq 1\text{ . }
$$

💡 答案解析

解 我们做变换

$$
\left\{ \begin{array}{l} u = x + y - z, \\ v = - x + y + z, \\ w = x - y + z. \end{array}\right.
$$

计算雅可比行列式得

$$
\frac{\partial \left( {u,v,w}\right) }{\partial \left( {x,y,z}\right) } = \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}\right| = 4,
$$

$$
\frac{\partial \left( {x,y,z}\right) }{\partial \left( {u,v,w}\right) } = \frac{1}{4}.
$$

通过变元替换计算积分得

$$
I = \frac{1}{4}{\int }_{0}^{1}{\int }_{0}^{1}{\int }_{0}^{1}{uvw}\mathrm{\;d}u\mathrm{\;d}v\mathrm{\;d}w = \frac{1}{32}.
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：引入变量替换简化积分区域
令 u = x + y - z, v = -x + y + z, w = x - y + z，则积分区域 D 变为 u, v, w 均在 [0,1] 内的立方体。
公式：u = x + y - z, v = -x + y + z, w = x - y + z
提示：注意新变量与旧变量的线性关系，确保区域变换正确。
步骤 2/3
目标：计算雅可比行列式
计算雅可比行列式 ∂(u,v,w)/∂(x,y,z) = det([[1,1,-1],[-1,1,1],[1,-1,1]]) = 4，因此 ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) = 1/4。
公式：J = \frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = 4, \quad \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \frac{1}{4}
提示：行列式计算时注意符号，可先化简再求值。
步骤 3/3
目标：变换积分并计算
被积函数变为 uvw，积分区域为 [0,1]^3，体积元 d(x,y,z) = (1/4) du dv dw，因此 I = (1/4) ∫_0^1∫_0^1∫_0^1 uvw du dv dw = (1/4) * (1/2)^3 = 1/32。
公式：I = \frac{1}{4} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 uvw \, du \, dv \, dw = \frac{1}{32}
提示：三重积分可分离变量，分别计算每个变量的积分再相乘。

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