新讲 第21章 含参变元的积分 第4题

证明 在上面引理中已经得到

$$
\sin {\pi x} = {\pi x}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) ,\;\forall x \in \left( {0,1}\right) . \tag{4.8}
$$

为讨论方便,引入记号

$$
h\left( x\right) = {\pi x}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
$$

我们指出函数 $h$ 的重要性质:

(1) $h\left( 0\right) = h\left( 1\right) = 0$ ;

(2) $h\left( {-x}\right) = - h\left( x\right) ,\forall x \in \mathbb{R}$ ;

(3) $h\left( {x + 1}\right) = - h\left( x\right) ,\forall x \in \mathbb{R}$ .

性质 (1) 和性质 (2) 是显然的. 为了证明性质 (3) , 我们利用以下恒等式

$$
\pi \left( {x + 1}\right) \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 - \frac{{\left( x + 1\right) }^{2}}{{n}^{2}}}\right)
$$

$$
= \pi \left( {x + 1}\right) \frac{\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left\lbrack {\left( {n + 1 + x}\right) \left( {n - 1 - x}\right) }\right\rbrack }{{\left( N!\right) }^{2}}
$$

$$
= - {\pi x}\frac{\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {n + x}\right) \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {n - x}\right) }{{\left( N!\right) }^{2}} \cdot \frac{N + 1 + x}{N - x}
$$

$$
= - {\pi x}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) \cdot \frac{N + 1 + x}{N - x}.
$$

在上式中让 $\displaystyle{N \rightarrow + \infty}$ 就得到

$$
h\left( {x + 1}\right) = - h\left( x\right) .
$$

根据 (4.8) 式与函数 $h$ 的性质 (1),(2) 和 (3),我们断定

$$
\sin {\pi x} = h\left( x\right) ,\;\forall x \in \mathbb{R}.
$$

这就是

$$
\sin {\pi x} = {\pi x}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) ,\;\forall x \in \mathbb{R}.
$$

由此又得到

$$
\sin x = x\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}{\pi }^{2}}}\right) ,\;\forall x \in \mathbb{R}.
$$

定理 3( $\Gamma$ 函数的余元公式)

$$
\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( {1 - x}\right) = \frac{x}{\sin {\pi x}},\;\forall x \in \left( {0,1}\right) .
$$

证明 我们有

$$
\Gamma \left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{n}^{x} \cdot n!}{x\left( {1 + x}\right) \left( {2 + x}\right) \cdots \left( {n + x}\right) }
$$

$$
= \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{n}^{x}}{x\left( {1 + x}\right) \left( {1 + \frac{x}{2}}\right) \cdots \left( {1 + \frac{x}{n}}\right) },
$$

$$
\Gamma \left( {1 - x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{n}^{1 - x} \cdot n!}{\left( {1 - x}\right) \left( {2 - x}\right) \cdots \left( {n + 1 - x}\right) }
$$

$$
= \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{n}^{1 - x}}{\left( {1 - x}\right) \left( {1 - \frac{x}{2}}\right) \cdots \left( {1 - \frac{x}{n}}\right) \left( {n + 1 - x}\right) },
$$

$$
\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( {1 - x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left\lbrack \frac{1}{x\left( {1 - {x}^{2}}\right) \left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{2}^{2}}}\right) \cdots \left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) }\right.
$$

$$
\left. {\cdot \frac{n}{n + 1 - x}}\right\rbrack
$$

$$
= \frac{1}{x\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}}\right) }
$$

$$
= \frac{\pi }{\sin {\pi x}}\text{ . }
$$

引理 ${4\Gamma }\left( \frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi }$ .

证明 由余元公式可得:

$$
{\left( \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) \right) }^{2} = \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) = \pi ,
$$

$$
\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi }.
$$

以下公式是勒让德 (Legendre) 最先提出的, 所以又叫作勒让德公式.

定理 4( $\Gamma$ 函数的倍元公式)

$$
\Gamma \left( {2x}\right) = \frac{{2}^{{2x} - 1}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( {x + \frac{1}{2}}\right) ,\;\forall x > 0.
$$

证明 这公式可以写成

$$
\Gamma \left( x\right) = \frac{{2}^{x - 1}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( \frac{x}{2}\right) \Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right) ,\;\forall x > 0. \tag{4.9}
$$

我们记

$$
f\left( x\right) = \frac{{2}^{x - 1}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( \frac{x}{2}\right) \Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right) .
$$

为了证明等式 (4.9),只需验证: 函数 $f$ 满足定理 2 中的三条件.

( 1 )显然有 $f\left( x\right) > 0,\forall x > 0$ ,并且

$$
f\left( 1\right) = \frac{1}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) \Gamma \left( 1\right) = 1.
$$

(2)

$$
f\left( {x + 1}\right) = \frac{{2}^{x}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{x + 2}{2}\right)
$$

$$
= \frac{{2}^{x}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right) \Gamma \left( {\frac{x}{2} + 1}\right)
$$

$$
= \frac{{2}^{x}}{\sqrt{\pi }}\Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right) \cdot \frac{x}{2}\Gamma \left( \frac{x}{2}\right)
$$

$$
= {xf}\left( x\right) \text{ . }
$$

(3) 因为

$$
\ln f\left( x\right) = \left( {x - 1}\right) \ln 2 - \ln \sqrt{\pi }
$$

$$
+ \ln \Gamma \left( \frac{x}{2}\right) + \ln \Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right) ,
$$

式中 $\left( {x - 1}\right) \ln 2 - \ln \sqrt{\pi },\ln \Gamma \left( \frac{x}{2}\right)$ 和 $\ln \Gamma \left( \frac{x + 1}{2}\right)$ 都是凸函数,所以 $\ln f\left( x\right)$ 也是凸函数.

与 $\Gamma$ 函数密切相关联的一个二元函数是 $\mathrm{B}$ 函数 (Beta 函数).

定义 2 含参变元 $x$ 和 $y$ 的积分

$$
{\int }_{0}^{1}{t}^{x - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t \tag{4.10}
$$

定义了一个二元函数

$$
\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{1}{t}^{x - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t.
$$

我们把这函数叫作 $\mathrm{B}$ 函数.

引理 5 函数 $\mathrm{B}\left( {x,y}\right)$ 对任何 $x > 0,y > 0$ 有定义,并且满足以下条件:

(1) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) > 0,\forall x,y > 0$ ,并且

$$
\mathrm{B}\left( {1,y}\right) = \frac{1}{y};
$$

(2) $\mathrm{B}\left( {x + 1,y}\right) = \frac{x}{x + y}\mathrm{\;B}\left( {x,y}\right)$ ;

(3)对于取定的 $y > 0,\ln \mathrm{B}\left( {x,y}\right)$ 是变元 $x$ 的凸函数.

证明 (1) 由 $\mathrm{B}\left( {x,y}\right)$ 的定义可知

$$
\mathrm{B}\left( {x,y}\right) > 0,\;\forall x,y > 0,
$$

并且有

$$
\mathrm{B}\left( {1,y}\right) = {\int }_{0}^{1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t = \frac{1}{y}.
$$

(2)利用分部积分法可得

$$
\mathrm{B}\left( {x + 1,y}\right) = {\int }_{0}^{1}{t}^{x}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= {\int }_{0}^{1}{\left( \frac{t}{1 - t}\right) }^{x}{\left( 1 - t\right) }^{x + y - 1}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= - {\left. \frac{1}{x + y}{\left( \frac{t}{1 - t}\right) }^{x}{\left( 1 - t\right) }^{x + y}\right| }_{t \rightarrow 0 + }^{t \rightarrow 1 - }
$$

$$
+ \frac{x}{x + y}{\int }_{0}^{1}{\left( \frac{t}{1 - t}\right) }^{x - 1}\frac{1}{{\left( 1 - t\right) }^{2}}{\left( 1 - t\right) }^{x + y}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= \frac{x}{x + y}{\int }_{0}^{1}{t}^{x - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= \frac{x}{x + y}\mathrm{\;B}\left( {x,y}\right) .
$$

(3)对于 ${\lambda }_{1} > 0,{\lambda }_{2} > 0,{\lambda }_{1} + {\lambda }_{2} = 1$ 和 ${x}_{1} > 0,{x}_{2} > 0,y > 0$ ,我们有

$$
\mathrm{B}\left( {{\lambda }_{1}{x}_{1} + {\lambda }_{2}{x}_{2},y}\right)
$$

$$
= {\int }_{0}^{1}{t}^{{\lambda }_{1}{x}_{1} + {\lambda }_{2}{x}_{2} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= {\int }_{0}^{1}{\left\lbrack {t}^{{x}_{1} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\right\rbrack }^{{\lambda }_{1}} \cdot {\left\lbrack {t}^{{x}_{2} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\right\rbrack }^{{\lambda }_{2}}\mathrm{\;d}t
$$

$$
\leq {\left( {\int }_{0}^{1}{t}^{{x}_{1} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t\right) }^{{\lambda }_{1}}{\left( {\int }_{0}^{1}{t}^{{x}_{2} - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t\right) }^{{\lambda }_{2}}
$$

$$
= {\left( \mathrm{B}\left( {x}_{1},y\right) \right) }^{{\lambda }_{1}}{\left( \mathrm{B}\left( {x}_{2},y\right) \right) }^{{\lambda }_{2}}.
$$

由此可知 $\ln \mathrm{B}\left( {x,y}\right)$ 是变元 $x$ 的凸函数.

$\mathrm{B}$ 函数可以用 $\Gamma$ 函数来表示:

定理 5 对于 $x > 0,y > 0$ ,我们有

$$
\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = \frac{\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( y\right) }{\Gamma \left( {x + y}\right) }.
$$

证明 对任意取定的 $y > 0$ ,考察这样一个函数

$$
f\left( x\right) = \frac{\Gamma \left( {x + y}\right) \mathrm{B}\left( {x,y}\right) }{\Gamma \left( y\right) }.
$$

下面证明这函数满足定理 2 中的三个条件.

( 1 )显然有 $f\left( x\right) > 0,\forall x > 0$ ,并且

$$
f\left( 1\right) = \frac{\Gamma \left( {1 + y}\right) \mathrm{B}\left( {1,y}\right) }{\Gamma \left( y\right) } = \frac{{y\Gamma }\left( y\right) \cdot \frac{1}{y}}{\Gamma \left( y\right) } = 1.
$$

(2) $f\left( {x + 1}\right) = \frac{\Gamma \left( {x + y + 1}\right) \mathrm{B}\left( {x + 1,y}\right) }{\Gamma \left( y\right) }$

$$
= \frac{\left( {x + y}\right) \Gamma \left( {x + y}\right) \cdot \frac{x}{x + y}\mathrm{\;B}\left( {x,y}\right) }{\Gamma \left( y\right) }
$$

$$
= {xf}\left( x\right) \text{ . }
$$

(3)对于取定的 $y > 0$ ,因为 $\ln \Gamma \left( {x + y}\right)$ 和 $\ln \mathrm{B}\left( {x,y}\right)$ 都是变元 $x$ 的凸函数,所以

$$
\ln f\left( x\right) = \ln \Gamma \left( {x + y}\right) + \ln \mathrm{B}\left( {x,y}\right) - \ln \Gamma \left( y\right)
$$

也是变元 $x$ 的凸函数.

这样,我们证明了 $f\left( x\right) = \Gamma \left( x\right)$ .

推论 我们有

(1) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = \mathrm{B}\left( {y,x}\right) ,\forall x > 0,y > 0$ ;

(2) $\mathrm{B}\left( {x,1 - x}\right) = \frac{\pi }{\sin {\pi x}},\forall x \in \left( {0,1}\right)$ .