新讲 第21章 含参变元的积分 第1题
📝 题目
例 1 试证明
(1) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u$ ,
(2) $\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1} + {u}^{y - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u$ .
💡 答案解析
证明 在下面的积分中做变元替换
$$
t = \frac{u}{1 + u} = 1 - \frac{1}{1 + u}
$$
就得到
$$
{\int }_{0}^{1}{t}^{x - 1}{\left( 1 - t\right) }^{y - 1}\mathrm{\;d}t
$$
$$
= {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u
$$
$$
= {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u + {\int }_{1}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u.
$$
在最后一个积分中做变元替换
$$
u = \frac{1}{v}
$$
又得到
$$
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u = {\int }_{0}^{1}\frac{{v}^{y - 1}}{{\left( 1 + v\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}v.
$$
这样, 我们证明了
$$
\mathrm{B}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{u}^{x - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u
$$
$$
= {\int }_{0}^{1}\frac{{u}^{x - 1} + {u}^{y - 1}}{{\left( 1 + u\right) }^{x + y}}\mathrm{\;d}u.
$$