新讲 第3章 连续函数 第2题

例 2 考察方程 ${x}^{3} - {2x} - 5 = 0$ . 我们记
$$
f\left( x\right) = {x}^{3} - {2x} - 5.
$$
因为
$$
f\left( 2\right) = - 1 < 0 < f\left( 3\right) = {16},
$$
所以方程 $f\left( x\right) = 0$ 在(2,3)中有一个根. 我们用对分区间法求此根的近似值, 得到如下的结果: 我们取根的近似值
$$
\widetilde{c} = \frac{{2.09375} + {2.109375}}{2} = {2.1015625}.
$$
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{判别} f\left( {a}_{k}\right) \lt 0 \lt f\left( {b}_{k}\right)& \text{确定根的范围} \left( {{a}_{k},{b}_{k}}\right)\\
\hline
f\left( 2\right) < 0 < f\left( 3\right) & (2,3) \\
f\left( 2\right) \lt 0 lt f\left( {2.5}\right) & (2,2.5) \\
f\left( 2\right) \lt 0 lt f\left( {2.25}\right) & (2,2.25) \\
f\left( 2\right) \lt 0 lt f\left( {2.125}\right) & (2,2.125) \\
f\left( {2.0625}\right) \lt 0 \lt f\left( {2.125}\right) & (2.0625,2.125) \\
f\left( {2.09375}\right) \lt 0 \lt f\left( {2.125}\right) & (2.09375, 2.125) \\
f\left( {2.09375}\right) \lt 0 \lt f\left( {2.109375}\right) & (2.09375, 2.109375) \\
\hline
\end{array}
$$
误差的界为
$$
\left| {\widetilde{c} - c}\right| \leq \frac{1}{{2}^{7}} = \frac{1}{128} = {0.0078125}.
$$
以下的介值定理是定理 1 的推广.

定理 2 (介值定理) 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续. 如果在这闭区间的两端点的函数值 $f\left( a\right) = \alpha$ 与 $f\left( b\right) = \beta$ 不相等,那么在这两点之间函数 $f$ 能够取得介于 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的任意值 $\gamma$ . 这就是说,如果 $f\left( a\right) < \gamma < f\left( b\right)$ （或者 $f\left( a\right) > \gamma > f\left( b\right)$ ）,那么存在 $c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得

$$
f\left( c\right) = \gamma .
$$