📝 题目
例 9 考察序列
$$ {\alpha }_{n} = \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \cdots + \frac{1}{{\left( 2n\right) }^{2}},\;n = 1,2,\cdots . $$
因为
$$ 0 \leq {\alpha }_{n} \leq \underset{n\text{ 项 }}{\underbrace{\frac{1}{{n}^{2}} + \cdots + \frac{1}{{n}^{2}}}} = \frac{1}{n}, $$
所以 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列.
1. c 有界序列与无穷小序列的性质
引理 如果 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,那么它也是有界序列.
💡 答案与解析
证明 对于 $\varepsilon = 1$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N$ ,就有
$$ \left| {\alpha }_{n}\right| < 1\text{ . } $$
记
$$ K = \max \left\{ {\left| {\alpha }_{1}\right| ,\cdots ,\left| {\alpha }_{N}\right| ,1}\right\} , $$
则显然有
$$ \left| {\alpha }_{n}\right| \leq K,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
定理 1 关于有界序列与无穷小序列, 有以下结果:
(1)两个有界序列的和与乘积都是有界序列. 即如果 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ , $\left\{ {y}_{n}\right\}$ 都是有界序列,那么
$$ \left\{ {{x}_{n} + {y}_{n}}\right\} \text{ 与 }\left\{ {{x}_{n}{y}_{n}}\right\} $$
都是有界序列.
(2) 两个无穷小序列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 与 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 之和
$$ \left\{ {{\alpha }_{n} + {\beta }_{n}}\right\} $$
也是无穷小序列.
(3)无穷小序列 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 与有界序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的乘积 $\left\{ {{\alpha }_{n}{x}_{n}}\right\}$ 是无穷小序列.
(4) $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列 $\Leftrightarrow \left\{ \left| {\alpha }_{n}\right| \right\}$ 是无穷小序列.
证明(1)我们有
$$ \left| {x}_{n}\right| \leq K,\forall n \in \mathbb{N};\;\left| {y}_{n}\right| \leq L,\forall n \in \mathbb{N}. $$
于是
$$ \left| {{x}_{n} + {y}_{n}}\right| \leq \left| {x}_{n}\right| + \left| {y}_{n}\right| \leq K + L,\;\forall n \in \mathbb{N}; $$
$$ \left| {{x}_{n}{y}_{n}}\right| = \left| {x}_{n}\right| \left| {y}_{n}\right| \leq {KL},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
(2)对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 ${N}_{1} \in \mathbb{N}$ 和 ${N}_{2} \in \mathbb{N}$ ,分别使得
$$ \left| {\alpha }_{n}\right| < \varepsilon /2,\;\forall n > {N}_{1}, $$
和
$$ \left| {\beta }_{n}\right| < \varepsilon /2,\;\forall n > {N}_{2}. $$
取 $\displaystyle{N = \max \left\{ {{N}_{1},{N}_{2}}\right\}}$ ,则 $n > N$ 时,就有
$$ \left| {{\alpha }_{n} + {\beta }_{n}}\right| \leq \left| {\alpha }_{n}\right| + \left| {\beta }_{n}\right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon . $$
(3)根据定义,存在 $K \in \mathbb{R}$ 使得
$$ \left| {x}_{n}\right| \leq K,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
不妨设 $K > 0$ . 对任意 $\varepsilon > 0$ ,我们有 $\varepsilon /K > 0$ . 因而存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时,有
$$ \left| {\alpha }_{n}\right| < \varepsilon /K\text{ . } $$
这时就有
$$ \left| {{\alpha }_{n}{x}_{n}}\right| = \left| {\alpha }_{n}\right| \left| {x}_{n}\right| < \frac{\varepsilon }{K}K = \varepsilon . $$
(4)我们有显然的关系
$$ \left| \right| {\alpha }_{n}\left| \right| = \left| {\alpha }_{n}\right| . $$
推论 我们有:
(5)两个无穷小序列 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 的乘积 $\left\{ {{\alpha }_{n}{\beta }_{n}}\right\}$ 也是无穷小序列；
(6)实数 $c$ 与无穷小序列 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 的乘积 $\left\{ {c{\alpha }_{n}}\right\}$ 也是无穷小序列；
(7)有限个无穷小序列之和仍是无穷小序列, 有限个无穷小序列之乘积也是无穷小序列.
证明(5)无穷小序列 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 是有界序列.
(6)常数 $c$ 可以视为有界序列:
$$ {x}_{n} = c,\;n = 1,2,\cdots . $$
(7)利用数学归纳法就可证明.