📝 题目
例 12 设 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,记
$$ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots , $$
则 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列. 换句话说,以无穷小序列前 $n$ 项的算术平均数作为通项的序列, 也是一个无穷小序列.
💡 答案与解析
证明 对任意的 $\varepsilon > 0$ ,存在 $m \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > m$ ,就有
$$ \left| {\alpha }_{n}\right| < \varepsilon /2\text{ . } $$
对这取定的 $m$ ,又可取充分大的 $p \in \mathbb{N}$ ,使得
$$ \frac{\left| {a}_{1}\right| + \cdots + \left| {a}_{m}\right| }{p} < \frac{\varepsilon }{2}. $$
记 $\displaystyle{N = \max \{ m,p\}}$ ,则当 $n > N$ 时,就有
$$ \left| {\beta }_{n}\right| \leq \frac{\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{m}\right| }{n} + \frac{\left| {\alpha }_{m + 1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{n}\right| }{n} $$
$$ \leq \frac{\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{m}\right| }{p} + \frac{\left| {\alpha }_{m + 1}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{n}\right| }{n - m} $$
$$ < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\left( {n - m}\right) \frac{\varepsilon }{2}}{n - m} = \varepsilon . $$