📝 题目
例 13 设 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,并且
$$ {\alpha }_{n} \geq 0,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
我们记
$$ {\gamma }_{n} = \sqrt[n]{{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{n}},\;n = 1,2,\cdots , $$
则 $\left\{ {\gamma }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列.
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ 0 \leq {\gamma }_{n} \leq {\beta }_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}, $$
这里
$$ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots $$
是无穷小序列 (见