📝 题目
例 1 求证 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + 1}}\frac{n}{n + 1} = 1}$ .
💡 答案与解析
证明 对任意的 $\varepsilon > 0$ ,要使
$$ \left| {\frac{n}{n + 1} - 1}\right| = \frac{1}{n + 1} < \varepsilon , $$
只需
$$ n > \frac{1}{\varepsilon } - 1\text{ . } $$
取大于 $\frac{1}{\varepsilon } - 1$ 的任意自然数作为 $N$ (例如取 $N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1$ ),则当 $n > N$ 时,就有
$$ \left| {\frac{n}{n + 1} - 1}\right| = \frac{1}{n + 1} < \varepsilon $$