📝 题目
例 2 求证 $\displaystyle{\lim \frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} = \frac{1}{3}}$ .
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ \left| {\frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} - \frac{1}{3}}\right| = \frac{{5n} - 2}{3\left( {3{n}^{2} + {2n} + 4}\right) } < \frac{5n}{9{n}^{2}} < \frac{1}{n}. $$
只需取大于 $1/\varepsilon$ 的任何自然数作为 $N$ (例如取 $N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1$ ), 则当 $n > N$ 时,就有
$$ \left| {\frac{{n}^{2} - n + 2}{3{n}^{2} + {2n} + 4} - \frac{1}{3}}\right| < \frac{1}{n} < \varepsilon . $$