📝 题目
例 3 设 $a > 1$ ,求证 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{a} = 1}$ .
💡 答案与解析
证明 因为 $a > 1$ ,所以 ${a}^{1/n} = \sqrt[n]{a} > 1$ . 令
$$ {\alpha }_{n} = {a}^{1/n} - 1,\;n = 1,2,\cdots , $$
则 ${\alpha }_{n} > 0$ . 我们来证明 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 事实上,由
$$ a = {\left( 1 + {\alpha }_{n}\right) }^{n} > 1 + n{\alpha }_{n} $$
可得
$$ {\alpha }_{n} < \frac{a - 1}{n}. $$
这证明了 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列.