📝 题目
例 4 求证 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{n} = 1}$ .
💡 答案与解析
证明 令 ${\alpha }_{n} = \sqrt[n]{n} - 1$ ,则 ${\alpha }_{n} \geq 0$ . 我们有
$$ n = {\left( 1 + {\alpha }_{n}\right) }^{n} = 1 + n{\alpha }_{n} + \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}{\alpha }_{n}^{2} + \cdots $$
$$ \geq \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}{\alpha }_{n}^{2}. $$
由此可得
$$ 0 \leq {\alpha }_{n} \leq \sqrt{\frac{2}{n - 1}},\;\forall n \geq 2. $$
要使
$$ \sqrt{\frac{2}{n - 1}} < \varepsilon , $$
只需
$$ n > \frac{2}{{\varepsilon }^{2}} + 1\text{ . } $$
取 $N = \left\lbrack {2/{\varepsilon }^{2}}\right\rbrack + 2$ ,则当 $n > N$ 时,就有
$$ 0 \leq {\alpha }_{n} \leq \sqrt{\frac{2}{n - 1}} < \varepsilon . $$