📝 题目
例 8 求 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}}}$ ,这里 $c \geq 0$ .
💡 答案与解析
解 先来看 $c = 0$ 的情形,这时
$$ \lim \sqrt[n]{0 + \frac{1}{n}} = \lim \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 $$
再来看 $c > 0$ 的情形,这时我们有
$$ \sqrt[n]{c} < \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}} \leq \sqrt[n]{c + 1}, $$
因而 $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{c + \frac{1}{n}} = 1}$ . 综合两种情形,我们得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{c + \frac{1}{n}} = 1,\;\forall c \geq 0. $$