📝 题目
例 10 设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是实数序列, ${a}_{n} > 0\left( {\forall n}\right) ,\lim {a}_{n} = A > 0$ . 求证
$$ \lim \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} = A\text{ . } $$
💡 答案与解析
证明 由不等式
$$ \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} \leq \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} $$
和
$$ \sqrt[n]{\frac{1}{{a}_{1}}\frac{1}{{a}_{2}}\cdots \frac{1}{{a}_{n}}} \leq \frac{\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}}{n} $$
可得
$$ \frac{n}{\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}} \leq \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} \leq \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}. $$
我们记
$$ {x}_{n} = \frac{n}{\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}\right) }, $$
$$ {y}_{n} = \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}}, $$
$$ {z}_{n} = \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}. $$
因为
$$ {x}_{n} \leq {y}_{n} \leq {z}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \lim {x}_{n} = \frac{1}{\left( \frac{1}{A}\right) } = A, $$
$$ \lim {z}_{n} = A, $$
所以有
$$ \lim {y}_{n} = A\text{ . } $$
在有关极限的一些证明中, 常常用到涉及绝对值的不等式和加减辅助项的技巧. 例如在极限的加法法则与乘法法则的证明中, 我们用到以下关系
$$ \left| {\left( {{x}_{n} + {y}_{n}}\right) - \left( {a + b}\right) }\right| \leq \left| {{x}_{n} - a}\right| + \left| {{y}_{n} - b}\right| , $$
$$ \left| {{x}_{n}{y}_{n} - {ab}}\right| = \left| {{x}_{n}{y}_{n} - a{y}_{n} + a{y}_{n} - {ab}}\right| $$
$$ \leq \left| {{x}_{n} - a}\right| \left| {y}_{n}\right| + \left| a\right| \left| {{y}_{n} - b}\right| . $$
若引用定理 3 , 通过无穷小序列来表示收敛序列, 则往往可以使证明更加平易显然. 例如, 序列极限的加法法则与乘法法则可以这样来证明:
设 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = a,\lim {y}_{n} = b}$ ,则
$$ {x}_{n} = a + {\alpha }_{n},\;{y}_{n} = b + {\beta }_{n}, $$
这里的 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 都是无穷小序列. 于是
$$ {x}_{n} + {y}_{n} = a + b + {\alpha }_{n} + {\beta }_{n}, $$
$$ {x}_{n}{y}_{n} = {ab} + a{\beta }_{n} + b{\alpha }_{n} + {\alpha }_{n}{\beta }_{n}. $$
因为 $\left\{ {{\alpha }_{n} + {\beta }_{n}}\right\}$ 和 $\left\{ {a{\beta }_{n} + b{\alpha }_{n} + {\alpha }_{n}{\beta }_{n}}\right\}$ 都是无穷小序列,所以
$$ \lim \left( {{x}_{n} + {y}_{n}}\right) = a + b, $$
$$ \lim \left( {{x}_{n}{y}_{n}}\right) = {ab}. $$
在讨论中引入无穷小序列, 常常可使复杂的问题简单化. 我们再举两个例子.