📝 题目
例 14 设 $A > 0,a \neq 0$ . 问当 $n$ 充分大的时候
$$ A{n}^{2} + {Bn} + C\text{ 与 }\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C} $$
各有怎样的符号?
💡 答案与解析
解 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left( {A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}}}\right) = A > 0, $$
所以对充分大的 $n$ 有
$$ A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}} > 0, $$
$$ A{n}^{2} + {Bn} + C = {n}^{2}\left( {A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}}}\right) > 0. $$
又因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{a + b\frac{1}{n} + c\frac{1}{{n}^{2}}}{A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}}} = \frac{a}{A}, $$
所以当 $n$ 充分大的时候, $\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C}$ 与 $\frac{a}{A}$ 同号,因而与 $a$ 同号.