📝 题目
例 1 设 $a > 0$ ,求极限 $\displaystyle{\lim \frac{{a}^{n}}{n!}}$ .
💡 答案与解析
解 记 ${x}_{n} = \frac{{a}^{n}}{n!},n = 1,2,\cdots$ . 显然有
$$ {x}_{n} > 0,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
对于充分大的 $n$ 有
$$ \frac{a}{n + 1} < 1 $$
这时就有
$$ {x}_{n} = \frac{{a}^{n}}{n!} > \frac{{a}^{n}}{n!} \cdot \frac{a}{n + 1} = {x}_{n + 1}. $$
由单调收敛原理可知: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有极限. 记这极限为 $x$ . 在以下等式中取极限:
$$ {x}_{n + 1} = \frac{a}{n + 1}{x}_{n}, $$
我们得到
$$ x = 0 \cdot x = 0. $$
这就是说
$$ \lim \frac{{a}^{n}}{n!} = 0 $$