📝 题目
例 3 设 $a > 0,{x}_{0} > 0$ . 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 由以下递推公式定义:
$$ {x}_{n} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n - 1} + \frac{a}{{x}_{n - 1}}}\right) ,\;n = 1,2,\cdots . $$
试证
$$ \lim {x}_{n} = \sqrt{a}. $$
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ t + \frac{1}{t} \geq 2,\;\forall t > 0. $$
(这是算术平均数与几何平均数不等式的一种特殊情形. 直接证明也很容易. )由此可得
$$ {x}_{n} = \frac{\sqrt{a}}{2}\left( {\frac{{x}_{n - 1}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{{x}_{n - 1}}}\right) \geq \sqrt{a},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
由此又可得到
$$ \frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{a}{{x}_{n}^{2}}}\right) \leq 1,\;\forall n \in \mathbb{N}, $$
也就是
$$ {x}_{n + 1} \leq {x}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 递减而有下界,可设
$$ \lim {x}_{n} = x\text{ . } $$
显然有
$$ x \geq \sqrt{a} > 0\text{ . } $$
序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足递推公式
$$ {x}_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n} + \frac{a}{{x}_{n}}}\right) . $$
在该公式中让 $\displaystyle{n \rightarrow + \infty}$ 取极限就得到
$$ x = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{a}{x}}\right) , $$
即
$$ {x}^{2} = a\text{ . } $$
但已知 $x > 0$ ,所以 $x = \sqrt{a}$ . 我们得到:
$$ \lim {x}_{n} = x = \sqrt{a}. $$