📝 题目
例 7 设 $q \in \mathbb{R},\left| q\right| < 1$ ,
$$ {x}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{q}^{k - 1} = 1 + q + \cdots + {q}^{n - 1} $$
$$ \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{ . } $$
试证序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 收敛.
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| \leq {\left| q\right| }^{n} + \cdots + {\left| q\right| }^{n + p - 1} $$
$$ = {\left| q\right| }^{n}\left( {1 + \cdots + {\left| q\right| }^{p - 1}}\right) $$
$$ = {\left| q\right| }^{n}\frac{1 - {\left| q\right| }^{p}}{1 - \left| q\right| } $$
$$ \leq \frac{{\left| q\right| }^{n}}{1 - \left| q\right| }\text{ . } $$
我们已经知道 $\displaystyle{\lim {\left| q\right| }^{n} = 0}$ (参看 §1 中的